mardi 17 avril 2018

l'avion, une machine à remonter le temps...

L'heure mondialisée est née à Paris grâce à Gustave Eiffel (1832/1923).


A sa naissance à Dijon, Gustave porte le nom de "Bonickhausen dit Eiffel" qui est celui de sa famille depuis qu'un ancêtre originaire de Marmagen, village de la région allemande de l'Eifel, frontalière avec la Belgique, a émigré en France au XVIII siècle. Son nom sera raccourci en "Eiffel" par jugement d'un tribunal de Dijon en 1880.
Cet ingénieur de Centrale connaît un destin extraordinaire d'entrepreneur en construisant dans le monde entier des ouvrages d'art utilisant la nouvelle technique des constructions métalliques. Son chef d’œuvre est la tour Eiffel érigée pour l'Exposition Universelle de Paris de 1889 célébrant le centenaire de la Révolution Française. 
Cette construction gigantesque conçue comme provisoire est un exploit du XIX siècle. La durée de la concession est de 20ans, elle expire donc le 31 décembre 1909.
En 1893 le scandale du Canal de Panama éclabousse, à tort, Eiffel alors à l'apogée de sa carrière d'ingénieur et d'entrepreneur.
Dès 1898 la situation élevée de l'ouvrage intéresse le futur général Ferrié (1868/1932) alors capitaine du génie, spécialiste des techniques naissantes de la télégraphie sans fil et fils d'un confrère et ami d'Eiffel. En 1904 Eiffel accepte de financer le "poste de télégraphie militaire" de la tour. Six câbles de 425m de long et de 5mm de diamètre sont installés depuis le sommet jusqu'à des arbres du Champ de Mars : la portée de ces antennes est de 400 km, puis elle atteint 5.000 km en 1907.

les antennes de 1904

En 1908 le Bureau des Longitudes et l'Observatoire de Paris, sous l'impulsion de son président Benjamin Baillaud (1848/1934), voyant dans ces expériences une solution précise et radicale au problème obsédant du calcul des longitudes, commencent à envoyer au monde entier depuis la tour un signal horaire, à minuit, heure de Paris, avec une précision d'un centième de seconde.

Devant tant de perspectives scientifiques, le 1er janvier 1910, la concession est reconduite pour 20 ans par la Ville de Paris.
Pendant la première guerre mondiale la tour a rendu d'éminents services à l'Armée, notamment en interceptant un mois après la déclaration de guerre allemande un message ennemi qui permettra  au général Galliéni (1849/1916) de déclencher le 8 septembre 1914, au bon moment, l'épopée des taxis de la Marne qui a permis de contenir l'avancée allemande.

Benjamin Baillaud est le président-fondateur en 1912 du Bureau International de l'Heure au sein de l'Observatoire de Paris. Aujourd'hui scindé en deux entités, le BIH est chargé  d'ajouter la seconde intercalaire éventuelle permettant d'aligner temps atomique et rotation de la terre.
Benjamin Baillaud fonde également l'Union Astronomique Internationale en 1919 à Paris. Le général Ferrié est président de la Commission Internationale des Longitudes.
La conférence de Washington du 22 octobre 1884 avait décidé que le méridien d'origine international serait celui de Greenwich et non pas celui de Paris. Eiffel et Ferrié ont permis à la France d'établir pour des années sa suprématie en matière d'astronomie et de trouver ainsi une sorte de revanche...

le temps coordonné
solstice d'été 3h50 UTC, lever de soleil à Greenwich et Madagascar (6h50)
solstice d'été 20h14 UTC, coucher de soleil à Greenwich et à Rio de Janeiro (17h14)
solstice d'hiver 8h4 UTC, lever de soleil à Greenwich et à Rio de Janeiro (5h4)
solstice d'hiver 15h49 UTC, coucher de soleil à Greenwich et à Madagascar (18h49)

Un voyage, bien choisi, en avion, permet de remonter le temps mais, bien sûr, provisoirement, car le temps gagné ne se conserve guère...

Il suffit par exemple de relier Tokyo à Londres en passant par le cercle polaire. Les coordonnées de Tokyo sont: latitude 36°, longitude -140°, celles de Londres: latitude 51°, longitude 0°. L'écart en longitude est de 140° soit 9h20m. Choisissons le jour du solstice d'été le 21 juin.

vol Tokyo-Londres

On peut emprunter la loxodromie, sorte d'hélice sphérique, qui se parcourt ici au cap constant de 81.5°, la distance est alors de 11300 km. Son trajet, dessiné en gris sur la figure ci-dessus, survole Almaty la grande ville du Kazakhstan (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 29/03/2016 intitulé "de la boussole au logarithme: la loxodromie").
De nos jours on suit le plus court trajet sur la sphère qui est le grand cercle passant par les points de départ et d'arrivée, c'est l'orthodromie (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 23/04/2016 intitulé "un tour en orthodromie"). Le trajet dessiné en rouge Tokyo-Londres se réduit alors à 9.590 km, soit un gain de temps de deux heures: 12 heures au lieu de 14 à 800 km/h.
Précision utile: ici on ne s'occupe pas de géopolitique...
Les coordonnées du point du vol de plus haute latitude, le vertex, s'établissent à  70.9° de latitude et -64.6° de longitude. Il est donc au delà du cercle polaire, dans la mer de Kara, à l'est de la Nouvelle Zemble (Nouvelle Terre en russe) où ont eu lieu les tirs des essais nucléaires de l'Union Soviétique.
Le trajet survole la ville de Norilsk, puis le port de Mourmansk.
Norilsk est la ville la plus septentrionale du globe, elle compte 170.000 habitants. Située à 69.35° de latitude, la nuit polaire s'installe le 25 novembre jusqu'au 18 janvier, la température moyenne est alors de -25°, mais à partir du 24 mai le soleil ne se couche plus avant le 20 juillet et la température moyenne atteint 14°. La ville connait neuf mois de neige par an.
Ce sont les richesses minières considérables du sous-sol, en nickel et palladium, qui expliquent cette implantation.
Elle a été fondée en 1935 comme camp de travail forcé sous le nom de Norillag et a été gérée par le Goulag (Glavnoïe OUpravlenïe LAGereï, Direction Générale des Camps) jusqu'en 1956.
On estime que 500.000 personnes y ont travaillé et que 100.000 y ont trouvé la mort.


Pour la commodité on ne parle ici que d'heure solaire, c'est à dire de l'heure qui se déduit du fait qu’en un lieu donné le soleil passe plein sud à 12h.

L'avion décolle de Tokyo à 17h34 heure locale, il est 8h14 UTC à Londres. Au décollage l'azimut du soleil est de 106°, sa hauteur de 19°. Le pilote automatique de l'avion, tous calculs faits, fixe le cap de départ au nord-nord-ouest à 24°. Au cours du trajet ce cap augmentera régulièrement, il sera de 90° au vertex et de 149° à l'arrivée à Londres. A tout instant le pilote automatique, à partir de la latitude notée "lat" de l'avion donnée par GPS, connait le cap à suivre par la formule sin(cap) = cos(70.9) / cos(lat).
Pendant tout le voyage il va y avoir une course entre la nuit qui gagne l'Asie puis l'Europe et l'avion qui fuit devant elle.

D'abord tout est normal: le soleil se rapproche de l'horizon, son azimut augmente. Après 1 heure et 40 minutes de vol, à 19h14, heure lue sur la montre des passagers, le soleil se couche à Tokyo. Au sol, aux environs du nouveau cosmodrome de Vostotchny, il est 18h45.

la nuit commence à l'aéroport de départ, dans l'avion la soirée va être longue

Après 3h20m de vol, à 20h54, la hauteur du soleil qui est de 6.8° cesse de diminuer, le soleil va entamer une lente et légère remontée pendant cinq heures. Il est 19h43 au sol. La latitude de l'avion est de 57°.

le soleil refuse de se coucher

En approchant 66° de latitude il va se passer un phénomène curieux: l'heure au sol va reculer.

l'avion franchit le cercle limite: il commence à remonter le temps!

En effet la composante est/ouest de la vitesse notée V de l'avion est égale à: V * sin(cap), ce qui s'écrit, compte tenu de la formule donnant le cap en fonction de la latitude: V * cos(70.9) / cos(lat). Pour la latitude lat la longueur du parallèle est égale en kilomètres à: 2pi * 6378 * cos(lat). La longueur de l'arc pour une heure est donc de 2pi * 6378 * cos(lat) / 24.
Il existe ainsi une valeur de la latitude pour laquelle, en une heure, l'avion franchit un fuseau horaire. Au delà, il franchira un fuseau horaire en moins d'une heure!
L'équation est la suivante: cos^2(lat) = V * cos(70.9) * 24 / (2pi * 6378). Pour une vitesse V de 800 km/h cette latitude critique est égale à 66.65°, valeur qui se trouve être très proche de celle du cercle polaire 66.56°.
Ainsi tant que l'avion reste à l'intérieur du cercle de latitude 66.65°, l'heure au sol recule, l'avion allant, en quelque sorte, plus vite que le soleil...
Il entre dans ce cercle à 22h48, heure de l'avion, après 5h14m de vol et 4.190 km parcourus, il est 20h14 au sol.
Une heure et 12 minutes plus tard, il est minuit dans l'avion et à Tokyo, et 20h1 au sol. L'avion est remonté dans le temps de 13 minutes.

l'avion est au vertex, le cap est de 90°, la latitude va diminuer


L'avion passe au vertex à 0h44, heure de l'avion (le 22 juin) après 7h10m de vol et 5730 km parcourus, le cap est plein ouest, la latitude va décroître, il est 19h42 au sol. C'est le maximum d'intensité dans le recul de l'heure: la courbe représentant l'heure au sol connait son point d'inflexion. Il en est de même pour le cap et la longitude.

l'avion sort du cercle critique, l'heure au sol va ré-augmenter

L'avion ressort du cercle limite à 2h38, heure de l'avion, après 9h4m de vol et 7.270 km parcourus, il est 19h10 au sol! L'avion a passé 1h54m au delà du cercle de latitude 66.65° et l'heure au sol est passée de 20h14 à 19h10, soit un recul d'une heure et 4 minutes!
Pendant ce trajet à l'intérieur du cercle limite, l'avion a atteint Norilsk à 23h35, heure de l'avion, au kilomètre 4820. Il est alors 20h8 à Norilsk.
Puis il a atteint Mourmansk à 2h18, heure de l'avion, au kilomètre 6990. Il est alors 19h11 à Mourmansk.
Le passager embarqué à l'escale de Norilsk à 20h8 débarque à Mourmansk à 19h11: il arrive 57 minutes avant d'être parti...
Ceci parce que son avion a volé bien plus vite que le soleil. La distance Norilsk/Mourmansk de 2140 km a été parcourue en 2h42m alors que l'écart de longitude entre les deux villes de 54.8° demande  3h39m au soleil à raison de 15° par heure, soit 57 minutes de plus!
L'arrivée à Londres est prévue à 20h13. Un passager pour Londres embarqué à Norilsk à 20h8 arrivera donc à destination 5 minutes après son départ, ce qui est fort peu pour couvrir 4.760 km!

paramètres du vol Tokyo-Londres
Les courbes représentant la géométrie du vol, soit la longitude, la latitude, le cap et l'heure locale présentent une symétrie par rapport au vertex. Celles prenant en compte le mouvement du soleil, soit son azimut et sa hauteur, subissent une déformation en raison de sa course.
 
Mais toute cette remontée dans le temps sera rattrapée dans la suite du voyage qui se termine par un atterrissage au moment du coucher du soleil à Londres à 20h13 UTC. Il est 5h33 du 22 juin à Tokyo. Le vol a duré 12 heures, la journée du 21 juin n'est pas terminée pour les voyageurs japonais, il leur faut attendre encore 3h47m avant de passer au 22 juin. Le décalage horaire de 5h33 + 3h47m = 9h20m correspond bien à l'écart de longitude de 140°.

atterrissage au coucher du soleil, la nuit a rattrapé l'avion


Un calcul simple montre qu'un avion suivant un cap à l'ouest à la latitude de 61.4° et à la vitesse de 800 km/h vole à la vitesse du soleil et que l'heure au sol survolé est alors constante.
Plusieurs villes d'Europe du nord connaissent ce phénomène: Saint-Pétersbourg, Helsinki, Stockholm, Oslo, Reykjavík...On peut aller "instantanément" d'une ville à une autre située plus à l'ouest!

A l'équateur il faudrait voler deux fois plus vite.
En effet le périmètre équatorial de la terre est de 40.075 km (un peu plus que le périmètre le long d'un méridien retenu par les Révolutionnaires pour la définition du mètre) et la rotation sidérale terrestre de 23h56m4.3s et il vient donc : 40.075 / 23.934 = 1.674.4 km/h.

Les sites de lancement de satellites dans l'espace sont aussi proches que possible de l'équateur pour pouvoir profiter d'autant plus de l'effet de fronde dû à la rotation terrestre.

Et, puisque c'est la terre qui tourne et non pas le soleil, les lancements se font vers l'est.



Kourou latitude 5.23° nord


samedi 7 avril 2018

un soleil capricieux


C'est l'une des milliards d'étoiles que compte notre Voie Lactée, qui n'est elle même que l'une des milliards de galaxies de l'univers. Son diamètre vaut cent fois celui de la terre et sa masse 330.000 fois la sienne. La masse de la planète bleue représente plus de mille milliards de fois celle de toute l'humanité et toi, lecteur, tu es à peine plus que le dixième du milliardième de cette humanité...

Nous sommes les "Enfants du Soleil" selon l'astronome André Brahic (1942/2016) et il nous aura fallu plus de quatre milliards d'années pour sortir de l'enfance. Aujourd'hui, si le soleil laisse notre planète subir les humeurs de ses habitants, il en gouverne encore l'orbite selon des lois (quasiment!) immuables. Le long de cette trajectoire elliptique décrite en 365.2422 jours à vitesse non uniforme, la terre tourne sur elle-même autour d'un axe polaire incliné de 23.44° sur l'orbite, cet axe étant lui-même animé d’une lente rotation complète en 26.000 ans. Vu depuis la terre tout cela fait quelque fois apparaitre un comportement capricieux attribué au soleil.

Johannes Kepler (1571/1630) a découvert en 1609, après de nombreuses années de calculs difficiles, que la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le soleil est un foyer et qu'elle parcourt son orbite de telle façon que la surface balayée par le rayon qui la joint au soleil soit proportionnelle au temps (surfaces égales pendant des temps égaux).


C'est la loi des aires induite par la gravitation universelle, phénomène encore mystérieux. Voir à ce sujet l'article du présent blog intitulé "la découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler" en date du 01/05/2014.


la loi des aires en quatre figures

En haut à gauche, en rouge, la surface balayée par la planète pendant un temps donné "t" depuis le périhélie. Soit a le grand axe de l'orbite, b son petit axe, e son excentricité (e = rac(1 - b^2 / a^2)). La distance du soleil au centre de l'orbite vaut a * e.
Le point T ' va donner la solution du calcul permettant de relier la position de la planète, c'est à dire la valeur de l'angle en rouge ayant pour sommet le soleil, au temps t (cet angle V a été désigné par Kepler par le terme "anomalie" qui veut dire "irrégulier").
En effet, la surface en rouge est proportionnelle à la surface en jaune de la figure du haut à droite, leur rapport étant égal à celui de la surface de l'ellipse à celle du cercle, soit à celui du petit axe au grand axe: b / a.
La figure du bas à gauche montre que cette surface en jaune est facile à calculer: c'est la différence entre le secteur circulaire périhélie / T 'et le triangle en bleu. L'angle du secteur a été appelé "anomalie excentrique", il est désigné ici par "E".

On a  donc:
surface jaune = (pi * a^2) E / (2pi) - (a * e) . (a * sin(E)) / 2 = (a^2 / 2)(E - e * sin(E)) et surface rouge = (a * b)(E - e * sin(E)) / 2.
La surface complète de l'orbite vaut pi * a * b. Appelons "A" le temps mis par la planète pour balayer toute son orbite. Pendant le temps t la planète a donc parcouru une fraction de sa révolution égale à : (t / A) = (E - e * sin(E)) / (2pi).
On a donc l'équation E - e * sin(E) = t * (2pi / A). C'est l'équation de Kepler.
Elle est transcendante puisque figurent en même temps l'angle E et son sinus. C'est la première équation de ce type apparue historiquement dans les mathématiques.
La quantité t * (2pi / A) est l'angle qui serait parcouru par la planète pendant le temps t si elle se mouvait régulièrement, on l'appelle anomalie moyenne (ce qui constitue un oxymore!). On la désigne couramment par "M".
E = M + e * sin(E)
Ayant ainsi mis en équation la loi des aires en exprimant l'anomalie excentrique E en fonction du temps, il faut encore relier cette anomalie excentrique à l'anomalie (vraie), qui est le but du calcul.
La figure du bas à droite montre que ce n'est pas un exercice de géométrie difficile en partant des coordonnées de la terre dans le repère xOy. On obtient les relations suivantes:
cos(V) = (cos(E) - e)/(1 - e * cosE),    sin(V) = (b/a) * sin(E)/(1- e * cos(E)) et    tan(V) = sin(E) * rac(1 - e^2) / (cos(E) - e).
Au passage, on obtient la longueur du rayon vecteur soleil-terre: r = a * (1-cos(E)).
Une cuisine trigonométrique donne la formule classique reliant les tangentes des angles-moitié:
tan(V / 2) = rac((1 + e) / (1 - 2)) * tan(E / 2). Cette formule était importante car elle permet d'obtenir un développement en série de V en fonction de E.

Le problème considérable qui  reste est de résoudre l'équation de Kepler dont la solution ne peut pas être trouvée directement. On ne peut donc que procéder par itérations successives.
Cependant, Robert Bryant, astronome anglais, indique dans le numéro de novembre 1886 de la revue mensuelle de la Royal Astronomical Society une méthode expéditive basée sur le théorème d'inversion de Lagrange. La référence de cet article a été fournie par Monsieur Jean Meeus et son collègue Edwin Goffin.

Joseph Louis Lagrange (1736/1813) a été l'un des plus grands mathématiciens du siècle des Lumières. Il est né, italien, à Turin, ville qu'il a quittée pour Berlin en 1766, à l'invitation du roi de Prusse Frédéric II (1712/1786). En 1787, après le décès de ce protecteur des Sciences, il a rejoint Paris où il participa, notamment, à l'élaboration du système métrique avec Lavoisier (1743/guillotiné en 1794). Lagrange a été naturalisé français et est inhumé au Panthéon.

Le théorème d'inversion a été énoncé à l'Académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin en 1770.
Soit une équation implicite du type y = x + a * f(y) où f(y) est une fonction quelconque et "a" une constante suffisamment petite (il semble que Lagrange n'ait pas reconnu cette précision nécessaire à la convergence de son calcul).
Soit une autre fonction quelconque g(x).
Le théorème donne alors le développement en série de g(y) en fonction de x:
le premier terme est g(x) et le terme courant d'ordre k est le produit de (a^k / k!) par la dérivée d'ordre k-1 de ( f(x)^k . g'(x) ).
Le second terme est donc a * d(f(x) * g'(x)) et le troisième (a^2 / 2) * d( f(x)^2 * g'(x) ) / dx.

Ce théorème s'applique parfaitement à l'équation de Kepler en faisant y = E, x = M, a = e, f(y) = sin(y). André Danjon (1890/1967) indique cependant que Laplace a montré que les séries ne convergent pas toutes si e est supérieur à 0.66274.
Si on retient pour fonction g(x) l'identité on obtient: E = M + e * sin(M) + (e^2 / 2) * 2 * sin(M)cos(M) + (e^3 / 8)( 3 * sin(3M) - sin(M))+...
Ce résultat peut aussi être obtenu par la formule de Taylor, il n'a donc rien d'original.
Dans le cas où on peut se satisfaire d'une précision qui ne soit pas trop grande et où l'excentricité est faible, on néglige habituellement les termes de degré deux et plus.
Mais il y a bien mieux car on peut choisir la fonction g(x) de telle sorte que le terme du deuxième ordre disparaisse.
Son coefficient est égal à d(sin^2(x) * g'(x)) / dx. Il suffit donc de retenir pour g(x) la fonction cotangente dont la dérivée est -1/sin^2(x) pour que ce coefficient s'annule comme dérivée d'une constante.
On obtient ainsi cot(E) = cot(M) - e / sin(M) + 0 + (e^3 / 6) * sin(M) + ...
Si alors on peut négliger le terme du troisième ordre, on obtient, sans oblitérer la précision, une formule au deuxième ordre près qui est extraordinairement simple: cot(E) = cot(M) -e /sin(M) ou encore:
tan(E) = sin(M) / (cos(M) - e).
Cette formule est donnée dans l'excellent ouvrage de Jean Meeus "Calculs astronomiques pour amateurs" paru en 1986 et réédité en 2014 par la Société astronomique de France.

Pour la terre dont l'excentricité est de 0.016705, la précision est de 0.16 seconde d'arc. La précision s'abaisse à une seconde d'arc dés que l'excentricité dépasse 0.0307, ce qui est le cas de toutes les planètes visibles à l’œil nu sauf vénus. Il convient alors de tenir compte du terme du troisième ordre et, pour mars, de faire une itération en retenant comme valeur finale E' = M + e * sin(E). 
En opérant ainsi pour la terre la précision monte à 0.00002 secondes d'arc!
La méthode n'est pas applicable à mercure.

Connaissant E on calcule l'anomalie vraie V. L'écart entre V et M est appelée équation du centre, "équation" signifiant alors petite quantité permettant une égalisation. Elle affecte la longitude du soleil.


en bleu, la terre quotidienne avec l'axe polaire et l'ellipse décrite en 365.2422 jours, en gris le cercle principal

Sur la figure ci-dessus représentant l'écliptique, pour une meilleure compréhension, l'excentricité a été très exagérée, cependant périhélie et aphélie sont bien à leur place. Ce n'est pas le soleil qui détermine ni l'angle que fait l'axe polaire avec le plan de l'écliptique ni sa direction. Il influence ces paramètres et les fait varier très légèrement et régulièrement au cours des siècles mais, fondamentalement, il s'agit là de deux degrés de liberté de la terre.
Il se trouve que l'axe polaire n'est pas dans le plan perpendiculaire à l'orbite qui passe par l'axe principal de l'ellipse (ligne des apsides). En 2018 la terre passe au périhélie le 3 janvier et à l'aphélie le 6 juillet: saison et distance au soleil sont indépendantes.
En vertu de la loi des aires, à l'aphélie, la terre va moins vite (29.29km/s au lieu de 30.29km/s au périhélie), elle reste donc plus longtemps dans la partie de l'orbite correspondant à l'été et à l'automne: c'est l'inégalité des saisons.
Hiver: 89 jours, printemps: 92.81 jours, été: 93.62 jours, automne: 89.82 jours.

Une autre inégalité du soleil vu de la terre tient au fait que celle-ci tourne autour d'un axe incliné sur son orbite.
La figure ci-dessous montre la sphère céleste avec le cercle de l'équateur et celui du trajet du soleil, appelé écliptique.

longitude et ascension droite

La longitude  L du soleil se mesure le long de l'écliptique (en rouge) à partir du point vernal, son ascension droite A se mesure depuis le même point vernal mais le long de l'équateur céleste. Les deux axes des mesures font entre eux l'angle de l'obliquité (23.44°). Le lien entre ascension droite et longitude s'écrit tan(A) = cos(23.44) * tan(L). La déclinaison  D est la hauteur de l'astre mesurée par rapport à l'équateur céleste. Déclinaison et longitude sont liées par la formule sin(D) = sin(23.44) * sin(L).
Il est clair sur la figure que l'évolution sur 20 jours de la position du soleil vu depuis la terre est fort différente selon que l'on se trouve au début ou à la fin du printemps. Pour la même variation de longitude de 20 degrés, du 20 mars au 9 avril l'ascension droite croît de 18.5° et du 31 mai au 21 juin de 21.6°. La déclinaison croît, elle, de 7.8° au début et de 23.44 - 21.9 = 1.54° seulement à la fin du printemps, à l'approche du solstice d'été, ce mot signifiant soleil stable. L'obliquité introduit donc une autre inégalité dans la marche quotidienne du soleil vu de la terre. On l'appelle réduction à l'équateur car elle transforme le mouvement sur l'écliptique en un mouvement horaire sur l'équateur. Sa valeur résulte de la formule des tangentes citée ci-dessus et peut se calculer par un développement en série classique.
Équation du centre et réduction à l'équateur se combinent pour donner l'équation du temps, écart horaire séparant l'ascension droite du soleil de celle d'un astre qui tournerait de manière uniforme autour de l'axe polaire (voir à ce sujet l'article du présent blog intitulé "l'équation du temps" en date du 06/06/2014).
Cet écart varie au cours de l'année entre +14m15s le 12 février et -16m25s le 4 novembre.

l'analemme ou courbe en huit de l'équation du temps

En un lieu de latitude géographique notée lat, l'angle horaire H du lever, ou du coucher, d'un astre quelconque (et notamment du soleil) dépend de sa déclinaison selon la formule cos(H) = - tan(lat) * tan(D). Il dépend donc fondamentalement de sa longitude par la formule des sinus citée plus haut.

L'équation du temps a donc des répercussions sur l'écoulement des jours et des nuits: les heures de lever et de coucher du soleil varient suivant l'anomalie du soleil et sa déclinaison.

les heures des levers et couchers du soleil tout au long de l'année


La courbe du haut en rouge représente la déclinaison du soleil et celle en bleu l'homothétique de la sinusoïde dans le rapport sin(23.44°) =  0.3978 . Ces deux courbes sont très voisines mais cela suffit à impacter sensiblement la marche du soleil.

Le graphique, calculé pour un lieu de latitude 47°, présente dans sa partie centrale, en jaune clair la période d'ensoleillement et en bleu clair la nuit. Les courbes, avec une couleur par saison, qui séparent les deux zones sont les heures de lever et de coucher du soleil. On parle ici en heure solaire locale et il n'est pas tenu compte de l'incidence de l'éventuelle heure d'été qui est artificielle.
On constate une dissymétrie par rapport à la ligne de midi entre lever et coucher et un étranglement pour les levers de l'hiver et les couchers de l'automne.

Le premier jour de l'année, dix jours après le solstice d'hiver, est celui où le lever est le plus tardif, à 7h45. Le lever le plus précoce a lieu le 17 juin, quatre jours avant le solstice d'été, à 4h4.
Le 12 décembre, neuf jours avant le solstice d'hiver, est le jour où le coucher est le plus tôt à 16h10. Le coucher le plus tardif intervient le 26 juin, cinq jours après le solstice d'été, à 19h59.

La courbe d'allure sinusoïdale en bleu représente l'équation du temps, celle en gris en est la dérivée et donne la durée du jour entre deux passages plein sud successifs et celle en rouge partage en deux l'ensoleillement du jour.
Pour les jours correspondant aux minima et maxima de l'équation du temps, là où la dérivée de l'équation du temps s'annule, soit les 12 février, 13 mai, 26 juillet et 4 novembre, la durée entre deux passages successifs plein sud, est exactement 24h00m00s. Pour les autres jours cette durée n'est pas de 24h. Le record du jour le plus long, 24h+29.9s, revient au 22 décembre alors que celui du jour le plus court 24h-21.1s est pour le 17 septembre.

Les jours où l'équation du temps s’annule, soit les 16 avril, 13 juin, 1er septembre et 25 décembre la durée du matin est égale à celle de l'après midi. Pour tout autre jour il y a partage inégal: le 4 novembre par exemple la matinée dure 16minutes de plus que l'après midi et c'est l'inverse le 12 février pour 14minutes.

en pliant l'année autour des solstices les caprices du soleil sont flagrants

La figure ci-dessus est la même que la précédente mais on a superposé les deux moitiés de l'année pour faire mieux apparaître l'influence de l'anomalie du soleil.

Ces subtilités de la marche de notre étoile laissent généralement insensible le quidam, mais un observateur attentif muni d'une horloge de bonne précision peut les mettre en évidence.

Il pourra ainsi apprécier les caprices du soleil



 

dimanche 18 février 2018

La cartographie des étoiles

Selon la Bible, les étoiles appartiennent au monde des ténèbres qui s'oppose à celui de la lumière et qui alterne avec lui. Ces deux mondes sont séparés au premier acte de la Création et la suite viendra suivant le rythme ainsi établi. Ce n'est qu'au quatrième jour qu'apparaissent le grand et le petit luminaire! Ainsi le soleil n'est pour rien dans la formation de la lumière du ciel: il n'en est pas la cause, son rôle est d'éclairer la terre. Celui de la lune et des étoiles est de prendre le relais lors de la nuit. C'est l'inexplicable disparition des étoiles pendant la journée qui justifie qu'il existe un monde des ténèbres bien particulier.

La Création, Giusto, baptistère St Jean Baptiste à Padoue
 Cette dualité de mondes cessera avec la compréhension des phénomènes de la dispersion des rayons lumineux et de la décomposition différentielle des ondes lumineuses dans l’atmosphère terrestre: les étoiles sont simplement cachées par le bleu du ciel. Sur la lune les étoiles sont toujours visibles dans un ciel d'un noir absolu.
dessin de Annie-Claude Martin

Jean Giono (1895-1970), chantre épique de la nature, publie en 1933 "Le Serpent d’Étoiles". Il s'agit là de l'un des écrits les plus dramatiques du poète. Le héros se rend, le jour de la Saint Jean, à la fête (imaginaire...) des bergers, en Haute Provence et décrit les "étoiles (qui) couraient dans le ciel comme des graines au vent". Son pilote "regardait au ciel la trace du chemin: les étoiles, parait-il, le marquaient". Arrivé à destination, "Malgré la grande nuit on y voyait; toutes les étoiles étaient descendues sur la terre et c'étaient les yeux des moutons éclairés par les feux de garde". Et "les chefs de bêtes...sont tous là autour de lui, lourdement engrossés de rêves, du beau tortillon du serpent des étoiles...".
Commence alors l'opéra fantastique de la nature joué par les bergers, récit hallucinant d'une Création, "écrite dans les étoiles" et rivale de celle de la Genèse. Le récitant annonce que l'homme "sera le sommet d'entre les sommets: sa tête montera à la rencontre des étoiles et de son regard bleu il dénombrera les étoiles, comme des brebis dans l'enclos des pâtures". Un grave conflit écologique entre la Terre, d'une part, et l'Homme et sa civilisation d'autre part, est alors prédit...
Au moment de partir l'un des musiciens conclut: "Moi, tout à l'heure , j'ai vu, là-haut au milieu de la nuit, un grand serpent d'étoiles! Il suffit d’imaginer".

Dès l'Antiquité Grecque des "astronomes" ont entrepris de mesurer par des méthodes ingénieuses les emplacements des étoiles par rapport au point vernal (ascension droite) et à l'équateur céleste (déclinaison). Ils ont commencé par établir une table du mouvement du soleil en le repérant par rapport aux étoiles les plus proches visibles juste avant son lever et juste après son coucher. Ensuite ils utilisaient la lune ou vénus comme astre intermédiaire pour rattacher d'autres étoiles au soleil.
Hipparque (-190/-120) a constaté un écart de 2 degrés entre ses mesures de l'étoile principale de la constellation de la vierge, l'épi, faites en -129 (valeur de la longitude 174°) et celle faites vers -273 (longitude 172°) par Timocharis (-320/-260) et a ainsi mis en évidence le phénomène de la précession des équinoxes de 2° en 144 ans. La valeur réelle est de 0.0139° par an, soit 2.008° en 144 ans! (précession car chaque équinoxe précède celui qui se serait produit autrement).

André Danjon (1890/1967), ancien Directeur de l'Observatoire de Paris écrit dans son livre magistral "Astronomie Générale" Sennac 1952, Blanchard 1994 : "C'est à Copernic (1473/1543) qu'est due l'interprétation admise aujourd'hui: la direction de l'axe de la terre ne reste pas invariable dans l'espace; son angle avec l'écliptique étant constant, elle décrit un cône de révolution...à raison de 50.2" par an".
 Newton (1643/1727) a fait la théorie de ce phénomène en deux temps. Il a d'abord établi que, contrairement au point de vue de Descartes (1596/1650), la terre, du fait de sa rotation, présente un renflement équatorial (voir à ce sujet l'article en date du 23/02/2016 intitulé "l'aube de la science dynamique"). Il a démontré ensuite que l’attraction de la lune et du soleil sur cet ellipsoïde en rotation engendre un couple tendant à redresser l'axe de rotation. La résultante gyroscopique de cette force, irrégulière au cours de l'année, est concrétisée par la lente rotation en 25900 ans de l'axe de la terre perpendiculairement à l'écliptique. Aujourd'hui, le pôle nord est voisin de l'étoile principale de la petite ourse appelée pour cette raison étoile polaire alors que dans 12950 ans c'est l'étoile principale de la lyre, véga, qui portera ce nom, comme elle le portait il y a 12950 ans!
Il faut encore ajouter que l'obliquité diminue de 0.0131° par siècle et que l'écliptique subit un léger balancement du fait des planètes proches (vénus) ou massives (jupiter).
Maurice Danloux-Duménils a pu évoquer dans son livre "Éléments d'Astronomie Fondamentale" Blanchard 1985, "les complications de l'astronomie de position, dans un univers où tout est de guingois, et où tous les plans de référence... font entre eux des angles constamment variables".

Compte tenu de ce qui précède, les coordonnées des étoiles évoluent constamment et une carte céleste n'est rigoureusement exacte qu'à un instant donné!
Il en résulte encore que les constellations du zodiaque avançant de 1.39° par siècle, chacune prend la place de la précédente en 2150 ans . Il est donc absurde d'établir un lien entre un jour de l'année et la symbolique d'un signe du zodiaque datant de la haute antiquité. Le 21 mars appartient aujourd'hui à la constellation des poissons à la place de celle du bélier!

Ptolémée (100/170) a consigné dans l'Almageste les coordonnées de 1 022 étoiles.
La civilisation arabe s'est ensuite trouvée dépositaire de cette science astronomique et il en est découlé une nouvelle dénomination de la plupart des étoiles principales.
La mission Gaia de l'Agence Spatiale Européenne démarrée en 2015 permet aujourd'hui de connaître les coordonnées d'environ un milliard d'étoiles.

l’astronome amateur moderne selon l'excellent Chaval


Il y a carte du ciel ... et carte du ciel!

La carte de la constellation du taureau extraite de "Revue des constellations" par R.Sagot et J. Texereau (SAF 1963)
La carte ci-dessus est le fruit du travail de deux éminents membres de la Société Astronomique de France, aidés par de multiples collaborateurs, qui ont passé en revue les 88 constellations et mis ainsi à la disposition des amateurs une somme destinée à les guider et à leur procurer "un enrichissement et une source de joies inépuisables".

Le taureau vu autrement, plus poétique et moins aride (il intéresse même les putti évoluant dans l’éther).

Aplatir une sphère sans la déchirer est évidemment impossible. Alors, pour dessiner le ciel sur un plan, il faut établir une correspondance entre les points de la sphère, les étoiles, et les points de la carte. Il y a plusieurs solutions, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients.
Leur point commun est d'utiliser une projection sur une surface tangente à la sphère, plane ou développable. Au sens strict une projection est une perspective depuis un point mais on utilise aussi ce terme pour une représentation plus compliquée des points de la sphère sur le plan. On distingue les projections sur un cylindre, sur un cône et sur un plan. Cette dernière est désignée par le terme "projection azimutale" en raison du fait qu'elle présente un point radial au point de contact.
Les techniques et problèmes de la projection cylindrique:
les diverses projections cylindriques du point A de déclinaison d
Les points de la carte sont repérés dans un système de coordonnées cartésiennes.

Le point A1 est celui obtenu par perspective. Son ordonnée vaut tan(d). Dès que la déclinaison dépasse 30° la dilatation est importante.

Le point A2 correspond à une projection orthogonale c'est à dire,ici, perpendiculaire à l'axe du cylindre. Son ordonnée vaut sin(d). Cette projection est l'une des projections décrites par le grand mathématicien et géodésien suisse Jean Henri Lambert (1728/1777).
Pour des valeurs élevées de la déclinaison il y a un tassement dans le sens vertical et une dilatation dans le sens horizontal. Cette projection conserve cependant les surfaces et possède donc la qualité dite d'"équivalence".

projection cylindrique orthogonale
Archimède (-287/-212) a démontré que la surface de la sphère est égale à celle du cylindre une fois déroulé, soit 4*pi*R^2.

Le point A3 est tel que son ordonnée soit proportionnelle à la déclinaison. L'ordonnée vaut donc d/(pi/2). Cette projection présente la propriété de l'"équidistance" sur les lignes parallèles à l'axe du cylindre. Les cartes qui en résultent sont dites "carrées" car le réseau des coordonnées se présente sous la forme du carré. Le tassement pour les valeurs élevées de la déclinaison n'existe plus puisque les parallèles de la sphère sont à la bonne distance les uns des autres.

Le point A4 correspond à la célèbre "latitude croissante" retenue par le mathématicien portugais Pedro Nunes (1502/1574) et le géographe flamand Gérard Mercator (1512/1594) pour imaginer et construire la Carte de Mercator dont l'avantage considérable réside dans la propriété d'être loxodromique, ce qui signifie que la marche d'un navire gardant un cap constant se traduit par une droite sur la carte. Cette propriété de conserver les angles est dite "conformité".
La déformation pour les valeurs élevées de la déclinaison est importante:

déformation induite par la latitude croissante de Mercator

C'est l'astronome anglais Edmund Halley (1656/1742) qui a démontré que cette latitude croissante, ordonnée du point A4, est égale à log(tan(d/2+pi/4)) (voir à ce sujet l'article intitulé "de la boussole au logarithme: la loxodromie" en date du 29 mars 2016).

Les techniques et problèmes de la projection azimutale:
les diverses projections azimutales du point A de déclinaison d
Les points de la carte sont repérés dans un système de coordonnées polaires.

Le point A1 est obtenu par perspective depuis le centre. Son rayon vaut 1/tan(d). Cette projection est dite gnomonique par analogie avec les cadrans solaires à style vertical de l'Antiquité. Les déformations sont très importantes mais un grand cercle, plus court chemin entre deux points, a bien pour image une droite. Cette projection présente donc l'intérêt d'être orthodromique. Les officiers de Marine Gustave Hilleret (1844/1922) et Désiré Gernez (1877/1954) ont étudié les cartes obtenues respectivement sur un plan tangent à un point de l'équateur et sur un plan tangent à un pôle. Ces cartes permettent de tracer, par point, le trajet orthodromique sur une carte de Mercator.

Le point A2 résulte de la projection orthogonale qui produit un tassement important des points proches de l'équateur. Son rayon est égal à cos(d).

Le point A3 est tel que son rayon soit proportionnel au complément de la déclinaison. Le rayon vaut donc 1 - d/(pi/2). Cette projection a la propriété d'"équidistance" sur les lignes d'azimut et les parallèles sont à la bonne distance les uns des autres.

le drapeau de l'ONU est une projection azimutale équidistante

Le point A4 est tel que le rayon soit égal à la corde qui le joint au point de contact. Cette projection décrite par J.H. Lambert conserve les surfaces, elle a donc la propriété d'"équivalence". Le rayon est égal à 2*sin(pi/4-d/2). La carte est plus fidèle au centre mais les déformations pour les faibles valeurs de la déclinaison sont plus importantes.
Le point A5, plus original, est le projeté du point A depuis le point de la sphère opposé au point de contact. Cette projection est la projection dite "stéréographique" (i.e. qui écrit un solide en relief) largement utilisée par les astronomes, de l'Antiquité à la Renaissance, pour la construction des astrolabes. Le rayon vaut 2*tan(pi/4-d/2) et elle déforme encore plus que la précédente pour les valeurs fortement négatives de la déclinaison.
Mais son intérêt essentiel est qu'elle est conforme. Et on démontre aisément qu'il en découle que les cercles de la sphère qui passent par le pôle de projection ont pour projetés des droites passant par le projeté du pôle et que tout cercle de la sphère qui ne passe par le pôle a pour projeté un cercle dont le centre se construit facilement comme projeté du sommet du cône tangent à la sphère le long du cercle .
Cette circonstance rend facile la représentation du ciel et le tracé des multiples cercles qu'il recèle : horizon, premier vertical, équateur, tropiques, écliptique, cercles horaires, de hauteur, d'azimut. En pratique les constructeurs d'astrolabe ont retenu comme plan de projection le plan équatorial, ce qui ne change rien à l'affaire.
Qui, le premier, s'est rendu compte de cette propriété insoupçonnée? Il y faut une bonne culture en matière de géométrie en trois dimensions! On attribue, sans certitude, cette découverte à Hipparque (-190/-120).

Les projections coniques sont utilisées pour établir des cartes de superficie limitée et ne sont d'aucun secours pour donner une représentation d'ensemble du ciel: elles ne sont donc pas étudiées ici.

Dans la pratique, pour représenter l'entier du ciel visible en un lieu donné on retient le plus souvent une projection cylindrique pour la zone équatoriale et une projection azimutale pour les zones polaires. Dans chaque catégorie on peut choisir entre l'équidistante, l'équivalente ou la conforme.

A tout seigneur tout honneur, les premières cartes du ciel ont été les astrolabes qui utilisent une projection stéréographique depuis le pôle sud sur le plan équatorial vue depuis le dessus. L'image du ciel est consultée, l'astrolabe posé à plat (voir à ce sujet les articles intitulés "L'astrolabe planisphérique classique le jour, la nuit" en date des 13 mars et 15 mars 2014).

l'astrolabe classique


la carte stéréographique du ciel de l'astrolabe

Toutes les lignes sont des cercles: l'horizon en vert, l'équateur et le premier vertical en bleu, l'écliptique multicolore suivant la saison, le tropique du capricorne en noir et la limite des étoiles visibles en gris. Ce dernier cercle est gradué en ascension droite.
On constate une concentration centrale et une extension excessive pour les constellations situées plus au sud que le tropique du capricorne telles que le sagittaire ou le scorpion. C'est la raison pour laquelle, semble-t-il, l'astrolabe est limité à ce tropique dans la pratique. Seule étoile située au delà à être mentionnée (de justesse!): antarès, le cœur du scorpion, parce qu'il y a deux mille son ascension droite était égale à -23.95° pour une obliquité de 23.85° alors qu'elle est aujourd'hui de -26.43° pour une obliquité de 23.44°. Variations séculaires et précession des équinoxes sont à l’œuvre.
Au cours de la nuit les images des étoiles sur l'astrolabe défilent de l'est vers l’ouest, dans le sens des aiguilles d'une montre.
Pour rapprocher cette carte des modèles modernes il faut inverser le sens de rotation et regarder donc les étoiles par dessous. On tient alors la carte devant ou au dessus de soi en la présentant à la partie du ciel observée

carte moderne par projection stéréographique

Cette projection conserve les formes: toutes les constellations de l'hémisphère céleste nord sont bien ressemblantes. Même orion est bien rendu. Cependant il faut une grande échelle pour aérer le centre.
On répond à cet inconvénient en utilisant la projection équivalente de Lambert qui conserve localement les surfaces.

carte azimutale équivalente de Lambert
L'écliptique n'est plus un cercle (centré sur l’œil de chat), l'horizon non plus. L'hémisphère nord est prépondérant: la partie centrale est bien plus aérée mais les étoiles d'assez forte déclinaison négative sont sacrifiées.

Les constellations sont étirées dans le sens des ascensions droites. Le carré de pégase devient un rectangle...et orion est tassé sur lui-même.

On peut ré-équilibrer l'ensemble avec la projection équidistante qui a pour avantage de respecter les distances sur les méridiens.

carte azimutale équidistante de Postel
Là aussi, plus de cercle
ni pour l'écliptique ni pour l'horizon. L'ensemble parait plus équilibré, l'étirement est moindre et les constellations du sud sont améliorées. C'est la solution retenue aujourd'hui par la quasi totalité des fabricants de cartes du ciel.

la carte "SIRIUS" (latitude 47°) éditée par Hallwag, Berne
Les deux cartes suisses "SIRIUS", petit et grand modèles, sont les meilleures! Mais il semble qu'elles ne soient plus éditées...

pendule sidérale
L'horloger japonais Citizen a construit en 1994 une pendule sidérale présentant, pour la latitude de Tokyo 35.7°, une carte du ciel suivant cette même projection. La carte est mise à jour en temps réel par la rotation du disque portant les dessins des étoiles. Ce disque tourne dans le sens inverse des aiguilles et fait un tour complet en un jour sidéral soit 23h56m4s. On règle la pendule une fois pour toute en fonction du temps universel, du fuseau horaire légal du lieu et de l'écart de longitude entre le lieu et l'axe du fuseau horaire. L'ajustement en fonction de l'équation du temps et de l'heure d'été reste ici une opération virtuelle (voir à ce sujet l'article en date du 06/06/2014 intitulé "l'équation du temps").

Pour avoir un dessin plus fidèle des constellations dont la déclinaison moyenne ne dépasse pas 50° environ, il faut avoir recours à une projection sur un cylindre tangent à la sphère céleste le long de l'équateur céleste.

La projection par perspective entraîne une dilatation verticale dommageable dès 30° de déclinaison:
carte cylindrique perspective

La projection orthogonale équivalente de Lambert a pour effet inverse de tasser verticalement ces zones:
carte cylindrique équivalente de Lambert

 La projection équidistante est un moyen terme:
carte cylindrique équidistante


Mais la perfection est mieux approchée par la carte de Mercator:
carte de Mercator

L'Institut Géographique National édite aujourd'hui une carte du ciel comportant trois parties. Le bandeau supérieur présente suivant une projection de Mercator les constellations les plus proches de l'équateur céleste (déclinaison de -50° à +50°). L'ensemble des constellations apparait en dessous selon une projection stéréographique de chacun des hémisphères célestes sous forme de deux disques, jointifs au niveau de la constellation d'orion. L’espacement des méridiens est horaire.
Le résultat est excellent de fidélité à la réalité de la sphère céleste vue par un terrien et le lecteur peut s'exercer à comparer l'apparence d'une même constellation dans chacune des projections.
Les constellations sont figurées avec l'iconographie inspirée de leurs noms allégoriques et dessinée par Isaac Thuret (1630/1706) horloger de Louis XIV, ce qui, sans nuire au caractère scientifique de l'objet, le rattache à l'histoire de l'astronomie. Isaac Thuret a fabriqué en 1674 sous la direction de l'astronome hollandais Huyghens (1629/1695) la première montre à ressort spiral.

IGN et les étoiles

Les étoiles sont ainsi cartographiées, mais cela ne résout pas la question de savoir ce qu'elles sont!

Que signifie exister?