samedi 11 novembre 2017

Dans les pas de Ptolémée: de la géométrie dans l'espace à la géométrie plane

La géométrie dans un plan, c'est facile et ludique: il suffit de dessiner!

Mais pour comprendre les phénomènes astronomiques il faut ajouter une troisième dimension, ce qui implique un niveau d'abstraction supplémentaire. Quant à la quatrième dimension c'est encore bien pire...

Ptolémée, de dos (?), par Raphaël (1483-1520), l’École d'Athènes, Vatican

Heureusement il existe pour aider l'astronome une technique simple basée sur le principe du rabattement. Il s'agit de dessiner sur un même plan de référence, ce qui se passe dans d'autres plans en les faisant tourner autour d'axes judicieusement choisis. Les Grecs connaissaient bien cette technique et l'ont transmise aux astronomes et mathématiciens de la Renaissance. Les taupins, jusque dans les années 1960, l'apprenaient et la pratiquaient sous le nom de géométrie descriptive (ou "descro", matière aussi désuète que le calcul numérique ou "cul nu"!).

On va décrire ici le cheminement suivi pour réduire les problèmes de la géométrie dans l'espace à des problèmes de géométrie plane.

D'abord on choisit de montrer la sphère céleste telle qu'elle se présente en un lieu donné en projection sur le plan méridien du lieu, depuis un point situé à l’Est de ce lieu. On choisit encore de retenir l'instant où le plan de l'écliptique est perpendiculaire au plan méridien. 
On appelle colure des solstices le cercle horaire qui contient les solstices. Le mot "colure" est la contraction de deux mots grecs: "kolos" qui signifie "tronqué" et "oura" qui signifie "queue". En effet la moitié de ce cercle horaire qui se trouve sous l'horizon est invisible.
Le plan de projection ainsi retenu est alors le plan du colure des solstices: c'est le plan de référence; le plan du colure des équinoxes lui est perpendiculaire et est vu de champ.

Le point de vue peut être choisi soit sur la sphère céleste elle-même, la projection est alors stéréographique, soit à l'infini, la projection est alors orthographique, soit en un point intermédiaire judicieusement choisi.

Ces projections sont très fécondes, pour les cadrans solaires et pour les astrolabes universels.

L'orthographique est celle du "Traité de l'Analemme" de Ptolémée (100-168) qui servait pour les Grecs et les Romains à construire les cadrans solaires d'heures inégales. Voir à ce sujet l'article du 12 novembre 2015 intitulé "Le Traité de l'Analemme par Ptolémée" et celui du 15/10/2014 intitulé "L’énigme des heures inégales".

Ptolémée par André Thivent
carte du monde connu reconstituée au XVe siècle à partir du texte de Ptolémée

La Composition Mathématique, désignée souvent par son nom d'origine arabe l'Almageste, œuvre princeps de Ptolémée, et sa Géographie, ont gouverné la Science pendant quinze siècles.
L'introduction du point équant rendait presque parfaitement compte des observations courantes des planètes. Mais la perspicacité de l'astronome danois Tycho Brahé (1546-1601), observateur hors pair, va permettre au mathématicien allemand Johannes Kepler (1571-1630) de découvrir les véritables lois régissant le mouvement des planètes. Voir à ce sujet l'article du 1er mai 2014 intitulé "la découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler".

Les inventeurs des astrolabes universels, c'est à dire indépendants de la latitude du lieu, ont utilisé ces projections: la stéréographique notamment pour l'astronome espagnol Arzaquiel (1029-1087) et ses disciples pour construire la "saphaea", l'orthographique pour l'astronome espagnol Juan de Rojas en 1551 et, enfin, l'intermédiaire pour l'astronome français Philippe de La Hire (1640-1748) en 1701. Voir à ce sujet l'article du 24 avril 2015 intitulé "Les astrolabes universels".

réplique d'un astrolabe du type Arzaquiel, construite et commercialisée par l'astrolabiste suisse Martin Brunold

On utilise ici la projection orthographique depuis le point gamma de l'espace. La sphère céleste donne un cercle, dessiné en gris sur la figure ci-dessous établie pour un lieu de latitude 32°, soit les environs d'Alexandrie. L'écliptique, vu de champ, est un segment, dessiné en orange, faisant un angle de 23.44° avec l'équateur céleste et dont les deux extrémités sont le solstice d'été vers le zénith et le solstice d'hiver vers le nadir. Sont notés le sud, le nord, le segment de l'horizon, le zénith, le pôle nord, l'axe polaire et l'équateur céleste en rouge, sous l'horizon: le nadir et le pôle sud.
Le décor est en place.
Retenons la date du 11 novembre.
Les développements seront ici limités au seul soleil mais ils s'appliquent à n'importe quel astre.
la longitude du soleil en orange, sa déclinaison en vert clair et son ascension droite en gris

Ce jour-là, vers 15h, le soleil a une longitude, notée L, fournie par les éphémérides, de 229.4°. Par rabattement du plan de l'écliptique, cette valeur permet de placer le point représentatif lambda et sa projection sur l’écliptique au point occupé par le soleil. Le soleil parcourt, au cours de la journée, le parallèle passant par ce point. La longueur du segment gamma-SOLEIL vaut cos(pi/2+L) soit sin(L).

La  déclinaison, notée d, en découle puisque le parallèle parcouru par le soleil coupe le cercle de référence au point qui la détermine. Elle vaut -17.6° ce que confirment les éphémérides (on peut noter qu'à la date du 30 janvier, le soleil a la même déclinaison et se trouve donc au même emplacement sur la figure). Le parallèle coupe l'axe polaire au point noté delta et la longueur du segment gamma-delta vaut sin(d).
L'ascension droite, notée aS, en découle aussi. En effet le rabattement du parallèle du soleil donne le cercle dessiné en noir de rayon cos(d). La perpendiculaire au parallèle élevée depuis le soleil coupe ce cercle au point figurant l'ascension droite, valant ici 227° soit 15h7m, ce que confirment les éphémérides. Par construction la longueur du segment delta-SOLEIL vaut sin(aS)cos(d). Par similitude de rapport 1/cos(d) on établit le point alpha figurant l'ascension droite sur l'équateur. la longueur du segment gamma-alpha vaut sin (aS).
En une journée, longitude et ascension droite varient en moyenne de 360/365 = 0.97 degré ou 3.9m.

On peut maintenant passer au déroulement de la journée du 11 novembre.
Au cours de la journée le soleil décrit sur la sphère céleste le parallèle dessiné en jaune pour la partie diurne et en gris pour la partie nocturne sur la figure ci-dessous.

les rabattements sur le plan du colure des solstices

Au moment de l'observation le soleil occupe une certaine position notée soleil sur la figure ci-dessus. La projection de ce point sur le plan de référence donne S' et permet de définir deux axes de rabattement passant par ce point: le premier parallèle à l'axe horizontal nord-sud et le second parallèle à l'axe polaire, qui est aussi l'axe horaire 0h/12h.
Le cercle en bleu, rabattement sur le plan de référence suivant l'axe horizontal, est le cercle de hauteur, son rayon est égal au cosinus de la hauteur, notée h, et varie au cours de la journée; l'angle en bleu est l'azimut, noté A.
Le cercle en rouge, rabattement suivant l'axe horaire, est le cercle horaire, son rayon est égal au cosinus de la déclinaison d et est considéré comme fixe au cours de la journée; l'angle en rouge est l'angle horaire, noté H, notion qui exprime l'heure par rapport à midi (15 degrés = 1 heure).

Par construction, les points A1 et H1, images des rabattements du soleil, sont tels que SS' = S'A1 = S'H1, ce qui est explicité par le cercle en gris dont le rayon s'exprime de deux façons: sin(A)cos(h) ou bien sin(H)cos(d). Ces deux produits ne sont autres que l'expression de la distance du soleil au plan de référence. En effet ils représentent la même coordonnée dans le système des coordonnées horizontales et dans celui des coordonnées équatoriales, systèmes qui dérivent l'un de l'autre par la rotation d'un angle égal à la valeur de la latitude autour de la direction du point gamma. Voir à ce sujet l'article du 12 novembre 2015 intitulé "Le traité de l'Analemme par Ptolémée".

Retenons comme instant 14h56, heure solaire.


on obtient graphiquement les valeurs de l'azimut, en bleu, et de l'angle horaire , en rouge.

On reporte alors sur le dessin de la sphère céleste sur le plan de référence les valeurs des angles obtenus:

les quatre coordonnées du soleil

L'arc en vert clair est la déclinaison d, celui en bleu l'azimut A, celui en rouge l'angle horaire H depuis midi et celui en jaune la hauteur h.
On a les égalités suivantes: OD = -sin(d), OA = cos(A), OH = cos(H) et Oh = sin(h). Les longueurs des segments reliant le centre à ces quatre points varient au cours de la journée et suivant le calendrier de façon inter-dépendante.

On retrouve facilement de manière graphique les formules de la trigonométrique sphérique régissant cette inter-dépendance:

les quatre segments représentant sin(d), sin(h), cos(A) et cos(H)

On a, en effet, OE = -sin(d)/sin(la), OE' = sin(h)/sin(la), SD = cos(d)cos(H), Sh = cos(h)cos(A) où S est le point marqué "soleil".
Dans le triangle SDE' on a SD = tan(la)(OD+OE') = tan(la)(-sin(d)+sin(h)/sin(la) et dans le triangle ShE, Sh = tan(la)(Oh+OE) = tan(la)(sin(h)-sin(d)/sin(la)). Il en découle les formules liant h, d et H ou d, h et A:
sin(h) = sin(la)sin(d)+cos(la)cos(d)cos(H) et sin(d) = sin(la)sin(h)+cos(la)cos(h)cos(A).

D'autre part, par construction on a tan(A) = SA1/Sh = sin(H)cos(d)/Sh  et tan(H) = SH1 = sin(A)cos(h), ce qui conduit aux deux autres formules classiques liant A,H et d ou H,A et h:
tan(A) = sin(H)/(cos(H)sin(la)-cos(la)tan(d)) et tan(H) = sin(A)/(cos(A)sin(la)-cos(la)tan(h)).

Ces formules ne sont rien moins que les équations du parallèle décrit par le soleil:
hauteur, en noir, et azimut, en bleu, en fonction de l'angle horaire, de 10 jours en 10 jours entre les solstices
On peut encore noter que le point représentant le soleil est à l'intersection des deux ellipses projections du méridien du soleil et du cercle horaire. Si on gradue l'équateur et l'axe horizontal nord-sud en cosinus, d'une part, et la verticale et l'axe polaire en sinus, d'autre part, on lit directement par interpolation les valeurs des quatre coordonnées.
ellipses (en pointillé) des projections du méridien du soleil et du cercle horaire


Il est très facile de trouver par la géométrie plane les caractéristiques de la course du soleil pour la journée:
caractéristiques de la journée du 11 novembre à Alexandrie (en heures solaires)

Les azimuts au lever (-69°) et au coucher (+69°) sont les points d'intersection avec le cercle de référence de la verticale passant par le point L. Les hauteurs maximale (40°) et minimale (-76°) s'obtiennent par la projection sur l'axe vertical des extrémités du parallèle décrit par le soleil. On constate ici combien l'astronomie d'amateur est plutôt un "sport d'hiver" puisque c'est pendant cette saison que les nuits noires sont les plus longues!
Soit X le point où se coupent la perpendiculaire à l'équateur élevée depuis le point marquant 0h et le rayon d'angle égal à la déclinaison. Soit Y le point d'intersection de la parallèle à l'équateur passant par X et de l'axe vertical. La droite XY, située à une distance égale à tan(d) de l'équateur, coupe l'axe horizontal en K. La perpendiculaire en K au parallèle du soleil coupe alors le cercle de référence aux heures de lever (6h45) et de coucher (17h14) du soleil puisque la distance du point K à l'axe polaire est égale à tan(la)tan(d).
Soit Z le point d'intersection de l'équateur et la perpendiculaire à XY passant Y. La longueur du segment OZ est alors égale à tan(d)/tan(la). Il en découle que la droite YZ coupe le cercle de référence aux heures de passage à l'est (3h58) et à l'ouest (20h01).

Mais il y a encore plus simple pour connaître les heures de lever et de coucher et celles des passages à l'est et à l'ouest.

la proportionnalité de valeur cos(d)
 
Les droites joignant les extrémités du parallèle parcouru par le soleil à celles de l'équateur céleste concourent sur l'axe polaire. En menant depuis ce point la droite passant par le point L marquant les lever et coucher on détermine le point J sur l'équateur puis, perpendiculairement, les heures de lever et de coucher sur le cercle de référence. En procédant de la même façon pour le point E sur la verticale on détermine le point Z puis les heures des passages à l'est et à l'ouest.
En effet les longueurs des segments DL, sin(d)tan(la) et OJ , tan(d)tan(la) sont dans une proportion égale à cos(d) et il en est de même pour les segments DE, sin(d)/tan(la) et OZ, tan(d)/tan(la).

 
Toutes ces heures sont des heures solaires, système d'heures dans lequel, par convention, chaque jour le soleil culmine à midi juste. En effet, jusqu'au boom ferroviaire des années 1840 chacun voit midi à sa porte et chaque lieu a son heure réglée sur le cadran solaire.
Par ailleurs il s'agit ici d'un soleil réduit à son centre et non affecté par la réfraction atmosphérique, ce qui induit un raccourcissement du jour de plusieurs minutes par rapport à la réalité des observations.


"L’engrenage magnifique qui s'appelle le monde", Oasis Interdites, 1937, Ella Maillart (1903-1997)

astronomes au travail sous le regard impatient de la muse Astronomie à la droite de cette tapisserie du XVIe siècle

Un autre intérêt de la figure réside dans le fait qu'elle permet, en un lieu de latitude connue, de résoudre graphiquement les douze problèmes fondamentaux de l'astronomie de position.

Si l'on connait la déclinaison, c'est à dire le jour de l'observation, il existe six problèmes car la donnée d'une seule autre coordonnée détermine les deux restantes:
1 et 2. la hauteur étant donnée, déterminer l'heure et l'azimut,
3 et 4. l'heure étant donnée, déterminer l'azimut et la hauteur,
5 et 6. l'azimut étant donné, déterminer la hauteur et l'heure.
Si, au contraire, on recherche la déclinaison, c'est à dire le jour, il existe trois problèmes car il faut connaître deux autres coordonnées:
7. à partir de l'heure et de la hauteur,
8. à partir de la hauteur et de l'azimut,
9. à partir de l'azimut et de l'heure.
Si on ne connait pas la déclinaison et si on veut un résultat direct il existe trois autres problèmes:
10. déterminer l'heure à partir de la hauteur et de l'azimut,
11. déterminer la hauteur à partir de l'azimut et de l'heure,
12. déterminer l'azimut à partir de l'heure et de la hauteur.

Si la déclinaison est connue, une seule coordonnée est nécessaire pour les connaître toutes :
1 et 2 A partir de la hauteur, la détermination de l'heure et de l'azimut  résulte de la construction de la figure: elle coule de source à partir du cercle de hauteur et du cercle horaire.
3 et 4 A partir de l'heure, pour la détermination de l'azimut et de la hauteur, il faut d'abord construire par parallélisme le point H1 sur le cercle horaire puis sa projection sur le parallèle décrit par le soleil. On obtient ainsi la position du soleil et donc son azimut et sa hauteur.
5 et 6 Pour ces deux problèmes où la coordonnée connue est l'azimut, il faut faire une construction préliminaire propre à chacun d'eux.
5 Pour la détermination de la hauteur à partir de l'azimut, supposant le problème résolu, on note que dans le triangle hh0E la tangente, notée t1, de l'angle hh0E vaut (hO+OE)/cos(h). Mais Oe vaut -sin(d)/sin(la). On a donc t1 = (sin(h)-sin(d)/sin(la))/cos(h). Remplaçant alors sin(d) par sa valeur soit sin(la)sin(h)-cos(la)cos(h)cos(A) et après simplification il vient t1 = cos(A)/tan(la).
Or il est facile de déterminer le point V de l'axe horizontal nord sud tel que dans le triangle OVE la tangente de l'angle OVE soit égale à t1. En effet le segment OL valant sin(d)/cos(la), la perpendiculaire à l'axe OL élevée en L coupe la droite matérialisant l'azimut au point N tel que ON = sin(d)/(cos(A)cos(la). Le point N donne alors le point V tel que la tangente de l'angle OVE vaut t1. La droite EV coupe donc le cercle de référence au point qui détermine la hauteur.

la hauteur à partir de la déclinaison et de l'azimut

6 Pour la détermination de l'heure à partir de l'azimut, supposant encore le problème résolu, on note que dans le triangle H0ZH, où H0 est la marque de l'angle horaire sur le cercle de référence, la tangente de l'angle H0ZH, notée t2, vaut sin(H)/(cos(H)+OZ) Mais OZ vaut -tan(d)/tan(la). On a donc t2 = sin(H)/(cos(H)-tan(d)/tan(la)). Remplaçant alors sin(H) par sa valeur soit tan(A)(cos(H)sin(la)-tan(d)cos(la)) et après simplification il vient t2 = tan(A)sin(la).
Or, là encore, il est facile de déterminer sur le segment AA0 le point U tel que dans le triangle UOA la tangente de l'angle UOA soit égale à t2. En effet il suffit de construire le triangle isocèle de sommet A, d'angle au sommet 90°-la et dont les cotés égaux valent cos(A). Dans ce triangle le pied U de la hauteur abaissée sur le coté AA0 est tel que cos(90°-la) = AU/sin(A). La tangente de l'angle AOU vaut alors tan(A)sin(la) soit t2. On construit alors les points X et Y qui donnent le point Z. La droite passant par Z et faisant un angle égal à l'angle AOU avec l'équateur coupe le cercle de référence au point qui détermine l'angle horaire.
On peut remarquer que t1 et t2 sont les tangentes des angles auxiliaires utilisés pour résoudre les problèmes 5 et 6 par l'emploi des formules de trigonométrie.

l'heure à partir de la déclinaison et de l'azimut

Connaissant la déclinaison, c'est à dire le jour, la donnée d'une coordonnée détermine donc graphiquement sans difficulté les deux autres.

Si on recherche la déclinaison deux coordonnées sont nécessaires.
7 Si on connait l'heure et la hauteur, la solution est analogue à celle du problème 5, les deux couples de coordonnées étant interchangeables. Les points E, L et V étant remplacés par les points équivalents E', L' et V', la droite E'V' coupe le cercle de référence au point qui détermine la déclinaison.
 
la déclinaison à partir de l'heure et de la hauteur

8 Si on connait la hauteur et l'azimut, la position du soleil et donc sa déclinaison sont évidentes à partir du cercle de hauteur.
9 Si on connait l’azimut et l'heure, on détermine comme pour le problème 6 la position du point U ce qui permet de construire le point Z puis le point Y puis le point X . La droite OX coupe le cercle de référence au point qui détermine la déclinaison. Là aussi les angles auxiliaires utilisés sont ceux qui permettent la résolution des problèmes 7 et 9 par l'emploi des formules de trigonométrie. 

la déclinaison à partir de l'azimut et de l'heure

Si, sans chercher à connaître la déclinaison, on dispose de deux coordonnées, on peut déterminer la quatrième.
10 Si on connait la hauteur et l'azimut, comme pour le problème 8, la position du soleil et donc l'heure sont évidentes à partir du cercle de hauteur.
11 Si on connait l'azimut et l'heure, la solution est analogue à celles des problèmes 6 et 9, les deux couples de coordonnées étant interchangeables. Les points U, Z, Y et X étant remplacés par les points équivalents U', Z', Y' et X', la droite OX' coupe le cercle de référence au point qui détermine la hauteur.

l'azimut et l'heure donnent directement la hauteur

12 Si on connait l'heure et la hauteur, la solution est analogue à celles des problèmes 6, 9 et 11. La hauteur donne les points X', Y' et Z', l'heure donne la valeur de l'angle U'OH, d'où depuis Z' le point du cercle de référence qui détermine l'azimut.

l'heure et la hauteur donnent directement l'azimut



 Cet outil rend ainsi facilement compte des mouvements des astres: il met l'astronomie de position et le calcul des coordonnées célestes à la portée de tous les géomètres.

arabesque librement inspirée de Joukowski



triton et nymphe, la joie et l'émotion de la découverte!... Jean Goujon 1549 Le Louvre



 

mardi 25 avril 2017

vous avez dit...ECLIPTIQUE?

ÉCLIPTIQUE...

Pourquoi avoir retenu ce terme pour désigner le plan de référence du système solaire contenant l'orbite de la terre autour du soleil et sa trace circulaire virtuelle dans le ciel ? En effet le lien avec le phénomène des éclipses n'est pas la caractéristique première de l'"écliptique" puisque la Lune le traverse deux fois par mois, avec éclipse une fois sur six seulement, en moyenne (en effet il ne suffit évidemment pas que les trois astres soient dans le même plan, il faut encore qu'à cet instant le Soleil soit dans la ligne de mire Terre - Lune). Et encore ce n'est qu'exceptionnellement que, lors d'une éclipse, la lune se trouve dans le plan de l'écliptique: elle peut en effet se trouver alors jusqu'à plus ou moins 1.6° de celui-ci!
l'éclipse totale du 21 août 2017 en Amérique du nord

Expliquer simplement ce qu'est l’écliptique n'est pas tâche facile!

D'abord, paradoxalement, on bannira toute référence à la lune qui n'est pas directement concernée.
Ensuite on dira que l'univers, évidemment organisé en trois dimensions, est pourtant composé de milliards d'éléments, les galaxies, regroupements d'étoiles qui se présentent, plus ou moins finement, comme des disques en deux dimensions seulement. On précisera qu'une galaxie  garde sa cohérence de disque du fait de sa rotation sur elle-même autour d'un axe perpendiculaire à son plan moyen. Aucune organisation simple ne semble présider à la distribution dans l'univers des centres et des plans galactiques souvent regroupés en amas.

galaxies NGC 4298 et 4302 chevelure de Bérénice (crédit NASA)

On indiquera qu'une galaxie est composée de milliards d'étoiles accompagnées de leurs systèmes planétaires, que ces systèmes sont aussi à deux dimensions seulement, chacun faisant tourner ses planètes dans un même plan et que la distribution de ces plans semble due au hasard.

Puis on précisera que chacun des corps d'un système planétaire, étoile centrale, planètes, satellites, tourne encore sur lui-même.

Enfin on affirmera que cette organisation en deux dimensions seulement, ainsi que ces rotations généralisées sont la conséquence de la loi de la gravitation universelle.

Alors on vous répondra (une fois sur deux parait-il !), que ce n'est pas du tout cela que l'on constate sur la Terre puisque ce sont bien les étoiles, le soleil et les autres planètes qui tournent et non pas l'inverse!

Il faudra citer Maurice Danloux-Dumesnils (1903/?) in Éléments d'Astronomie Fondamentale, Blanchard 1985:
"...probablement aucun des astronomes grecs n'a jamais cru la Terre fixe, mais aucun ne l'a dit, après Aristarque (-310/-280), parce que le sujet était tabou".
Tabou d'origine religieuse qui va durer 18 siècles au mépris de l'évidence liée aux vitesses qui seraient atteintes par les astres dans cet "ahurissant tournoiement" (ibid). On a eu en effet assez rapidement une idée de l'ordre de grandeur des distances: le Soleil décrirait son orbite à plus de 100 000 km par seconde! et que dire des étoiles...

Il sera donc admis que la Terre tourne autour du soleil dans un plan fixe et que les autres planètes en font autant, à peu près dans ce même plan, qui devient alors le plan de référence du système solaire.
la Terre autour du soleil, un point par jour

Ce plan de référence se projette sur la sphère des étoiles suivant un cercle, curieusement dénommé écliptique au lieu d'orbital. Les constellations interceptées par ce cercle sont donc privilégiées: vus depuis la Terre, le soleil, la lune et les planètes les parcourent tout au long de l'année, sans dévier de plus de 8.5 degrés de part et d'autre pour les planètes, et elles composent la ceinture du zodiaque appelée ainsi car on leur avait donné des noms d'animaux (en grec "zoodion" signifie: représentation d'un animal).

le zodiaque

On abordera alors la problématique des saisons qui vient aggraver tous les efforts d'abstraction précédents.
Pourquoi le soleil est-il plus ou moins haut dans le ciel suivant les mois de l'année?
On donnera la clé de cette complication en précisant que, lors de sa formation, une planète acquiert une rotation sur elle-même plus ou moins rapide autour d'un axe plus ou moins incliné sur le plan orbital et que cet axe de rotation garde, sauf accident, une direction fixe par rapport à la galaxie pendant son voyage autour de son étoile. Ce sont deux degrés de liberté laissés à la planète par la loi de la gravitation universelle. Pour la Terre la rotation est de 366.2422 tours entre deux passages au même point de l'orbite et l'inclinaison de l'axe est de 23.438°. Il faudra préciser que ces paramètres évoluent dans le temps mais de façon très faible à l'échelle humaine.
Le plan perpendiculaire à l'axe nord-sud de rotation détermine sur la sphère des étoiles un deuxième cercle virtuel appelé équateur céleste.
le zodiaque sur la carte du ciel
l'écliptique sur la sphère céleste

Du point de vue de Sirius, cette inclinaison de l'axe n'induit aucun problème, mais pour un habitant de la Terre la conséquence est considérable.
Au cours de la rotation diurne il voit que les étoiles tournent régulièrement d'est en ouest et que le cercle de l’écliptique tourne de travers, en faisant en permanence un angle de 23.438° avec l'équateur céleste qui, lui, se superpose à lui-même. L'écliptique progresse donc dans le ciel un peu à la manière d'un crabe. Il croise le méridien sud d'un lieu à une hauteur au dessus de l’équateur céleste qui varie journellement entre -23.438° et +23.438°.


l'inclinaison de l'écliptique au cours d'une journée
Au cours de l'année, vu de la Terre, le Soleil "remonte" chaque jour l'écliptique vers l'est au rythme moyen de 360/365.2422 soit 0.986 degré par jour. C'est ce qui fait que d'une nuit à la suivante les étoiles se décalent vers l'ouest de la même quantité. En parcourant l'écliptique tout au long de l'année, le Soleil se trouve donc alternativement six mois au dessus de l'équateur céleste (printemps et été) et six mois au dessous (automne et hiver).

Voilà les saisons dont il semble que l'alternance soit une condition nécessaire à la vie.

la bande du zodiaque (horizon et méridien en vert, équateur céleste et pôle nord en bleu)
Au cours de l'année l'axe de rotation de la Terre décrit donc une sorte de cylindre disposé en biais par rapport au plan de référence et appuyé sur l'orbite terrestre. 
Il y a alors deux points symétriques particuliers de l'orbite où l'axe (et donc le cylindre), lui est tangent. En ces points le soleil éclaire également les deux hémisphères de la Terre et les durées du jour et de la nuit sont identiques (on parle d'équinoxes pour dire cette équivalence). L'équateur céleste et l'écliptique se coupent en ces deux points et celui des deux qui correspond au moment où le soleil entame sa remontée au dessus de l'équateur céleste a été choisi comme origine des coordonnées écliptiques. C'est le point vernal (du latin ver qui signifie printemps) appelé aussi point gamma d'après la lettre de l'alphabet grec qui ressemble au symbole de la constellation du bélier qui le contenait il y a 2 500 ans (aujourd'hui la constellation des poissons).
Et il existe deux autres points où, au contraire, l'axe de rotation est perpendiculaire à l'orbite. En ces points le soleil éclaire bien plus l’hémisphère, nord ou sud, que lui présente principalement la Terre: l’hémisphère nord le 21 juin et le sud le 21 décembre.
Au cours de l'année la variation de la durée du jour (et aussi de la hauteur de culmination du soleil à midi) présente une allure sinusoïdale: elle est rapide aux équinoxes mais bien plus lente en ces deux derniers points: on parle de solstices parce que le soleil y "stagne".

culmination, durée du jour, énergie reçue
La figure ci-dessus montre, en trait rouge, l'évolution quasi-sinusoïdale de la hauteur de culmination du soleil au cours de l'année pour un lieu de latitude 40°. En trait bleu l'évolution de la durée du jour.
Quand le soleil culmine plus haut, la durée du jour est plus grande. Il en découle un effet multiplicateur de l'énergie reçue sur la terre. Le calcul montre que pour une surface horizontale la puissance du rayonnement solaire reçu est proportionnelle, à tout instant, au sinus de la hauteur du soleil.
Le graphique du bas de la figure ci-dessus représente cette puissance en fonction de l'heure pour le solstice d'hiver en gris, pour les équinoxes en jaune et pour le solstice d'été en rouge.
Le rapport entre l'énergie reçue lors d'une journée donnée et celle reçue à l'équinoxe est égale à:

cos(d)+tan(la)*sin(d)*AHS / (2*sin(AHS/2))
où "la" est la latitude , "d" la déclinaison et "AHS" l'angle correspondant à la moitié de la durée de l’ensoleillement qui se calcule par AHS = arccos(-tan(la)tan(d)).

Pour la latitude 47°, au solstice d'été l’ensoleillement est de près de 16h (12h + 33%) et l'énergie reçue 195% de celle de l'équinoxe, ces valeurs étant pour le solstice d'hiver 8h30m (12h - 29%) et 38%. L'écart entre les deux solstices est de 2 à 1 pour la durée de l'ensoleillement et de 5 à 1 pour l'énergie!

La plupart des planètes du système solaire sont entourées de satellites qui, eux aussi, tournent et, le plus souvent, dans le sens général dit direct. La Lune, satellite de la Terre, a des dimensions proches des autres gros satellites des planètes géantes gazeuses mais sa taille relativement à sa planète est hors norme. En réalité la taille de la Lune est plutôt de l'ordre de grandeur de celle de la planète Mercure.


Le couple planète/satellite présente donc vis à vis de la Terre des caractéristiques très particulières.
D'abord, relativement à la planète, la Lune a un diamètre, et surtout une masse colossale: 1 / 81.3 celle de la terre alors que pour Jupiter le rapport de la masse de Ganymède est de 1 / 12 700 et pour Saturne celui de Titan 1 / 4 057.
Ensuite les satellites les plus importants d'une planète gravitent autour d'elle dans son plan équatorial alors que l'inclinaison de l'orbite de la lune est bien plus proche de l'écliptique (en moyenne 5.15°) que du plan équatorial de la terre (23.438°).
De plus, à la manière d'une planète, l'axe de rotation de la lune n'est pas perpendiculaire au plan de son orbite et fait un angle de 6.67° (23.438° pour la Terre). Jean-Dominique Cassini (1625-1712), le fondateur de la lignée des Cassini, a découvert en 1693, par ses observations, la loi qui impose que l'orbite lunaire et l'équateur lunaire coupent l'écliptique au même nœud. C'est Lagrange (1736-1813) qui en a fait la théorie mathématique en 1784.
loi de Cassini: les pôles de l'écliptique, de l'orbite lunaire et de la lune sont coplanaires
 J.D. Cassini a si bien observé la Lune qu'il en a fait dessiner une carte très précise (?) incluant une figure féminine: on ne sait si c'est un hommage à la reine Marie-Thérèse ou à sa femme...
Enfin, Callisto le gros satellite de Jupiter le plus éloigné, orbite à 26 rayons planétaires et Titan, celui de Saturne, à 20 rayons. La Lune, elle, est à 60 rayons terrestres ce qui lui confère une période sensiblement plus grande: 27.32 jours au lieu de 16.8 jours pour Callisto et de 15.95 jours pour Titan. Compte tenu du faible déplacement des planètes gazeuses sur leurs orbites, les trajectoires de leurs satellites sont festonnées alors que l'orbite lunaire ne présente jamais de convexité en direction du soleil.

les festons des trajectoires des quatre lunes galiléennes de Jupiter
la lune, d'abord une planète?
Tout se passe comme si la Lune était une planète retenue par la Terre...

On peut ainsi estimer que la Lune n'est pas un satellite né avec sa planète mais une planète à part entière, petite sœur des planètes telluriques. La Terre aurait heurté peu après sa formation une autre planète et cette collision aurait donné naissance à une sorte de planète double, chacune influençant fortement l'autre. Cette dualité aurait doté le couple d'une forte stabilité vis à vis des perturbations induites par les autres planètes et les astéroïdes, stabilité précieuse puisqu'une faible variation de l'obliquité de l'axe de rotation peut modifier sensiblement les contrastes climatiques.
La Terre et la Lune vues depuis la sonde Cassini à travers les anneaux de Saturne (NASA, ESA...)
Le système solaire compte huit planètes, quatre denses et rocheuses (telluriques) dont la taille est voisine de celle de la Terre et quatre géantes gazeuses de taille dix et cinq fois plus importante. Ces deux groupes sont séparés par une ceinture d'astéroïdes, ensemble de petits corps rocheux qui n'ont pu se réunir en une planète. Quelques-uns (Cérès, Pallas, Juno, Vesta...) sont répertoriés sous le terme de "petite planète". Certains des plus gros astéroïdes restent une menace constante pour les autres planètes. Le 8 juin 2013 un astéroïde d'une dimension de 10 m est passé à 105 000 km de la Terre, il n'avait été détecté que deux jours auparavant! Le 19 avril 2017 un autre, de 650 m, détecté depuis mai 2014 est passé à 1 800 000 km. Il est courant, (plusieurs fois par semaine), que de petits astéroïdes passent à cette distance! Au rythme d'une centaine de tonnes par jour les plus petits tombent encore régulièrement sur la Terre en brûlant plus ou moins complètement sous forme d'étoiles filantes ou de météorites. Certains tombent sur la Lune y provoquant des flashes lumineux.
Une autre ceinture de corps rocheux (dont Pluton) ou glacés (comètes) règne au delà de l'orbite de Neptune: la ceinture de Kuiper.
Jupiter est de loin la principale planète, son diamètre est dix fois celui de la Terre et le dixième de celui du soleil. Elle représente à elle seule 70% de la masse planétaire totale mais seulement un millième de celle du soleil!
Les orbites des deux planètes Mercure et Vénus sont contenues à l'intérieur de celui de la Terre. Il en résulte que, vues par un observateur terrestre, elles sont alternativement visibles le matin ou le soir et qu'elles ne s'écartent jamais beaucoup du soleil: 47.8° pour Vénus et 27.8° pour Mercure au maximum. Vénus alterne assez régulièrement ses apparitions: 292 jours (9.6 mois) environ le soir ou le matin. Mercure est bien plus irrégulier et la forte excentricité de son orbite fait que ses apparitions, le soir (ou le matin), répondent au rythme très approximatif de 45, 65, 65, 45 ,65, 65, 45...jours.

orbites de la terre, lune, vénus, mercure et temps sidéral
En vertu de la première loi de Kepler (1571-1630) une orbite est une ellipse dont l'un des foyers est le soleil et qui est caractérisée par son demi-grand axe et son excentricité. Le plan de l'orbite est défini par son inclinaison sur l'écliptique et la longitude du nœud ascendant de l'ellipse. Enfin l'argument de la longitude du périhélie, dans le plan de l'orbite, place l'ellipse dans ce plan.
Pour la Terre le demi-grand axe sert d'unité astronomique (149 598 000 km), l'excentricité vaut 0.0167 et l'argument du périhélie 102.9°. Le demi-grand axe compte seulement 21 000 km de plus que le petit mais la distance entre les deux foyers de l'ellipse est de 5 000 000 km.
La deuxième loi de Kepler régit la progression de la planète sur son orbite en fonction de sa distance au foyer: la Terre est un peu plus près du Soleil le 3 janvier lors du périhélie (0.983 UA soit 147 055 000 km) et un peu plus loin le 5 juillet à l'aphélie (1.0167 UA soit 152 100 000 km). La vitesse au périhélie est de 30.29 km/s et de 29.29 km/s à l'aphélie. Le 4 avril et le 5 octobre la Terre passe aux sommets du petit axe de l'orbite.
Il résulte de ces valeurs que les saisons sont inégales en durée et que le Soleil passe deux jours de plus dans l'hémisphère nord (du 5 octobre au 5 avril) que dans le sud (du 6 avril au 4 octobre).

Le phénomène de la rétrogradation des planètes avait obligé les tenants du géocentrisme à des efforts importants d'imagination impliquant épicycles et déférents.
les rétrogradations de mercure, vénus et mars en 2017 et 2018

2017: mercure, vénus et mars dans un système géocentrique
2018: idem


Compte tenu de la disparité des demi-grands axes (de 0.4 UA pour Mercure et 30.1 UA pour Neptune) seule une échelle logarithmique permet de dessiner avec pertinence l'ensemble du système solaire:
système solaire en échelle logarithmique

système solaire en échelle logarithmique et en trois dimensions



le système solaire en dimensions relatives vraies sauf pour les orbites (crédit IAU Martin Kornmesser)


mercredi 8 juin 2016

le cadran solaire azimutal à gnomon fixe

florilège de cubiques circulaires focales partageant foyer et asymptote

Il s'agit dans cet article de la mise en œuvre d'une quatrième coïncidence trigonométrique!

Un premier "miracle" a permis de construire le quadrant universel, basé sur la hauteur du soleil, dont les lignes des heures inégales sont faciles à tracer car il s'agit à très peu de choses près d'arcs de cercle (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 17-10-2014 intitulé "La magie du quadrant d'heures inégales"). Cet objet individuel, sorte de montre de l'Antiquité et du Moyen Age, devait être assez répandu ainsi que ses variantes: quadrant d'heures égales, quadrant du tableau des ambassadeurs...etc (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 19/11/2014 intitulé "les cadrans de hauteur à style").


Un second "miracle" a conféré une grande simplicité d’exécution aux cadrans de l'Antiquité, à gnomon perpendiculaire, car les lignes des heures inégales sont alors à très peu de choses près des segments de droite. Il s'agit là de cadrans fixes, car il faut les orienter exactement, et souvent monumentaux. Tel le cadran horizontal d'Auguste au Champ de Mars à Rome ou ceux, verticaux, de la Tour des Vents à Athènes. Pour ces cadrans c'est l’extrémité du gnomon qui désigne l'heure sur un abaque tracé sur la table.
Le traité de Ptolémée, "L'Analemme", donne la méthode utile au dessin de ces abaques (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 12-11-2015 intitulé "Le Traité de l'Analemme, par Ptolémée").

Bien plus tardivement on imaginera de remplacer le gnomon perpendiculaire par un style pointé vers le pôle nord et donc incliné sur la table du cadran. On constatera alors que les lignes des heures classiques sont les droites que forme l'ombre de l'axe du monde matérialisé par le style. Mais il ne s'agira plus alors de "miracle" parce que cela résulte de la simple trigonométrie.

Un troisième "miracle" a encore présidé à la mise au point de l'anneau de paysan et de ses dérivés tels la bague solaire... 

La coïncidence qui nous occupe ici concerne un cadran d'heures classiques basé non plus sur la hauteur du soleil mais sur son autre coordonnée locale: son azimut.
A la différence des autres cadrans d'azimut (cadran analemmatique, cadran d'Oughtred, cadran orthographique) qui résultent d'une projection, l'abaque de celui-ci est fait de cercles concentriques autour du pied du gnomon.
L'azimut A est donné par la formule tanA = sinH / (cosH.sinl - tand.cosl) où H est l'angle horaire, l la latitude et d la déclinaison.
Traçons un cercle de référence, de rayon quelconque, centré sur le pied du style (en bleu dans la figure ci-dessous). Marquons chaque jour, pour un angle horaire fixe, le point de la table situé sur l'ombre portée par le gnomon, à la distance d de ce cercle, selon une progression linéaire.
Il se trouve alors que ce point décrit une courbe complexe mais dont la partie correspondant aux valeurs de l'obliquité (-23.4° à +23.4°) est très proche d'un arc de cercle.
l'arc en rouge de la courbe en gris est quasiment circulaire
 
un arc de cercle "miraculeux"

la bonne coïncidence entre courbes exactes, en vert, et arcs de cercle
Il est alors facile de tracer les lignes horaires en utilisant les deux points des solstices et celui des équinoxes.
On peut inverser le sens de la progression linéaire de la déclinaison et placer le solstice d'hiver près du centre du cadran, à la place du solstice d'été. Le cadran sera double et, suivant la saison, pour plus de précision, on lira l'heure sur les lignes rouges ou sur les lignes bleues après inversion de l'orientation.



un rapace?

un crabe?
cadran double emboîté, les deux cadrans sont séparés par les arcs des levers et couchers

Ces cadrans sont signalés par le grand spécialiste de la gnomonique italienne, l'Ammiraglio Girolamo Fantoni (1920-2006), dans son ouvrage "Orologi Solari" paru en 1988. Deux ans auparavant, en 1986, René Rohr (1905-2000), capitaine au long cours, avait fait paraître son livre "Les Cadrans Solaires".
La Gnomonique inspirerait-elle particulièrement les coureurs des mers?

Pour se servir de ces cadrans il faut une table donnant la déclinaison du soleil en fonction de la date.
L'amiral évoque une graduation en fonction du calendrier au lieu de la déclinaison. Cela peut paraître plus pratique mais on perd alors le bénéfice du miracle trigonométrique et les lignes horaires doivent être calculées et dessinées point par point.


On peut encore imaginer de faire la distinction entre les semestres suivant le signe de la déclinaison. On augmente alors sensiblement la distance entre le bord extrême de l'abaque et le pied du gnomon ce qui nuit gravement à la précision de la lecture.

deux semestres selon la valeur de la déclinaison

La variation de l'azimut en fonction de la déclinaison est brutale au moment des solstices. Sa variation en fonction du calendrier prend en compte la stagnation de la déclinaison aux environs des solstices (les bien nommés) et se trouve donc bien plus progressive.

pour les heures rondes, en bleu l'azimut en fonction de la déclinaison, en rouge en fonction du calendrier
 
deux semestres en fonction du calendrier

 Quitte à dessiner des courbes point par point, autant intégrer l'équation du temps dans les calculs.

...avec équation du temps
 Le cadran bleu dessiné ci-dessus en fonction du calendrier a été étudié par Y. Opizzo sous le nom d'araignée.


par quatre points passent trois cubiques circulaires focales