Un tel cadran est obtenu par analemme, c'est à dire par projection du cadran circulaire équatorial sur un plan et suivant un axe quelconques.
Le cadran équatorial se compose d'un cercle horaire disposé dans le plan de l'équateur céleste et d'un style polaire passant par son centre, parcouru au cours des saisons par le "point efficace" dont l'ombre tombe sur le cercle et y marque l'heure. Le point efficace se déplace entre les deux extrémités du style atteintes aux solstices.
 |
| cadran équatorial et point efficace |
L'analemme transforme le cercle équatorial en une ellipse (au sens large) qui porte la projection du point horaire. Le style polaire devient un segment sur lequel se trouve la projection du point efficace. Ces deux points et le point efficace déterminent un plan parallèle à l'axe de projection dans lequel se trouve la ligne d'ombre du point efficace. En érigeant alors sur le cadran, depuis la projection du point efficace, un nouveau style parallèle à l'axe de projection on obtient une ligne d'ombre livrant le point horaire.
Ce nouveau style doit être déplacé en fonction de la déclinaison, parallèlement à lui-même.
 |
| le nouveau style parallèle à l'axe de projection |
C'est très ingénieux et remarquablement fécond: Robert Majendie a montré dans un bel article d'Observations et Travaux (SAF) daté de 1996 que le cadran analemmatique est la mère des cadrans solaires classiques à style.
Les paramètres les plus couramment retenus pour construire ce genre de cadran sont une projection orthogonale sur un plan horizontal: le style est alors vertical et se déplace sur une portion du petit axe de l'ellipse.
Historiquement, M. de Vaulezard, mathématicien français, a publié en 1640 et 1644 un "Traicté ou usage du Quadrant analematique". Mais on s'accorde pour dater de 1506 la plus ancienne réalisation connue d'un cadran analemmatique visible devant l’église de Brou près de Bourg en Bresse. En 1757, l'astronome J.F. de Lalande (1732-1807), né à Bourg en Bresse (!), le fit réparer. Il a encore été remanié en 1902. Ce type de cadran, appelé cadran Lalande, est maintenant devenu le cheval de bataille des aménageurs branchés de jardins. Il en existe notamment un au départ, à 2.200m d'altitude, du très intéressant "chemin des planètes" à l'observatoire de Saint Luc (Valais).
 |
| cadran Lalande à Brou, près Bourg en Bresse (Ain) |
 |
| cadran Lalande |
Bien entendu des modèles de table ou portatifs ont été construits. Certains associent un analemmatique à un traditionnel, ce qui permet une orientation immédiate par la concordance des indications horaires.
 |
| double cadran Lalande et horizontal du catalogue de "Antiquités Delalande" Paris (copyright) |
Au lieu de retenir un style mobile se déplaçant par rapport à une ellipse unique on peut fixer le style et dessiner plusieurs ellipses obtenues par translation et formant un abaque de lecture. En associant ce cadran analemmatique à un cadran classique on bénéficie de l'orientation automatique.
 |
| double cadran Lalande à style fixe et horizontal |
Ce cadran ne doit pas être confondu avec le cadran horizontal orthographique qui résulte de la projection verticale des cercles de déclinaison de la sphère céleste sur un plan horizontal et qui n'est pas un cadran analemmatique car il ne résulte pas de la projection du cercle équatorial, contrairement à ce qui a pu être indiqué...
 |
| cadran horizontal orthographique (cadran non analemmatique) |
Le cadran Lalande à style fixe peut aussi être transformé en cadran Lalande vertical, il évoque alors une navicula mais n'est pas performant avant 8h ou après 16h:
 |
| cadran Lalande vertical à style horizontal fixe |
Il en est de même pour le cadran vertical orthographique qui n'est pas analemmatique:
 |
| cadran vertical orthographique (non analemmatique) |
On peut limiter l'étude des cadrans analemmatiques aux cas où l'axe de la projection est contenu dans le plan méridien nord/sud et où le plan de projection contient l'axe est/ouest car une projection sur un plan déclinant n'apporte pas vraiment d'élément supplémentaire.
Par contre les valeurs relatives de l'inclinaison de l'axe de projection sur l'axe polaire et de l'inclinaison du cadran sur l'équateur céleste déterminent des aspects particuliers de l'ellipse qui peut devenir un cercle ou une droite.
C'est ce qui a été découvert en 1680 par l'anglais Foster puis redécouvert un siècle plus tard en 1777 par l'astronome français Lambert (le cartographe).
En conservant pour le cadran le plan horizontal mais en retenant un axe de projection incliné d'un angle égal à 45° diminué de la moitié de la latitude, l'ellipse devient un cercle et il en est de même si l'angle retenu pour l'axe de projection est égal 135° diminué de la moitié de la latitude.
Dans le premier cas le style est incliné vers le nord et son ombre, vue du sud, tourne dans le sens horaire, dans le second le style est incliné vers le sud et son ombre tourne dans le sens inverse.
Mieux encore, on peut retenir la même échelle de déplacement des styles pour les deux cadrans, alors les deux styles, perpendiculaires entre eux, peuvent être rendus solidaires et le système devient auto-orientable.
 |
| cadran circulaire Foster Lambert |
Un cadran circulaire est plus facile à construire qu'un elliptique et il présente l'avantage qu'en rendant mobile la graduation horaire autour d'un axe perpendiculaire au cadran on peut lui faire tenir compte de la longitude et du fuseau horaire légal et indiquer ainsi l'heure légale. On peut encore tenir compte de l'équation du temps.
La figure ci-dessous, dessinée sur le plan méridien, permet d'analyser les conditions à remplir pour obtenir un cadran circulaire.
 |
| analemmatiques elliptique et circulaire |
En bleu épais le cadran elliptique et en bleu maigre le cadran circulaire.
Pour que le cadran soit circulaire il faut et il suffit que l'inclinaison de l'axe de projection sur l'axe polaire soit égale à la moitié de l'inclinaison du cadran sur l'équateur céleste.
Il y a donc une infinité de cadrans circulaires plus ou moins inclinés et ceux de Foster et Lambert, horizontaux, correspondent aux inclinaisons du cadran sur l'équateur égales au complément de la latitude et à ce complément augmenté de 180°.
On peut aussi construire les cadrans circulaires verticaux plein sud. Ils correspondent aux valeurs des horizontaux augmentées de 90°. Ils présentent l'avantage considérable qu'il n'est même plus besoin de rechercher la valeur de la déclinaison du jour pour régler les styles: le réglage est correct dès que les indications des deux cadrans concordent. Un objet mobile à déplacer dans une fente verticale peut être dimensionné suivant les caractéristiques des styles et il devient alors très commode de connaître l'heure. Plusieurs de ces objets mobiles peuvent être taillés selon d'autres valeurs pour la latitude et si on dessine les cercles horaires correspondants on a un cadran universel...
 |
| cadran Foster Lambert vertical et ses styles |
Une autre valeur particulière donne un cadran circulaire intéressant. Pour une inclinaison du cadran sur l'horizon égale au complément de la latitude, le style est vertical: c'est le cadran conçu en 1975 par G. Taylor et installé à l'observatoire de Greenwich.
 |
| cadran analemmatique circulaire à style vertical de Taylor (Herstmonceux) |
 |
| cadran Taylor |
René Rohr (1905-2000) présente dans son célèbre ouvrage de référence un autre circulaire correspondant à une inclinaison du cadran sur l'horizon égale à la latitude. Le cadran est alors perpendiculaire au plan équatorial et les deux styles sont inclinés de 45° sur la table du cadran. Le cadran est auto-réglable et les deux ombres se déplacent symétriquement.
 |
| cadran mentionné par R.Rohr |
La construction de deux styles permet de s'affranchir de la valeur de la déclinaison et donc de la date. Un procédé mécanique comme une vis sans fin peut permettre alors à tout un chacun de faire coulisser l'ensemble des styles à la bonne place, là où les ombres marquent la même heure.
 |
| cadran analemmatique circulaire à inclinaison quelconque |
Mais un style vertical et l'autre horizontal, n'est-ce pas mieux? et les ellipses ne sont-elles pas plus belles que les cercles?
 |
| cadran analemmatique elliptique à styles vertical et horizontal |
On peut aussi préférer un style unique perpendiculaire à la table. Pour cela l'angle de l'axe de projection sur l'axe polaire est égal à celui du cadran sur l'équateur céleste: il s'agit d'un cadran de Lalande incliné
 |
| cadran elliptique à style unique perpendiculaire |
Si l'axe de projection est dans le plan équatorial, le style est lui-même équatorial et l'ellipse est réduite à une droite. De la même façon que pour le cadran Lalande on peut rendre le style fixe et dessiner plusieurs droites de déclinaison. On obtient ainsi des cadrans originaux, par exemple horizontal et vertical. Aux environs des équinoxes ces cadrans ne sont cependant d'aucun secours.
 |
| cadran analemmatique horizontal à style équatorial |
 |
| cadran analemmatique vertical à style équatorial |
