les quadrants d'heures classiques (i.e.égales)

Le quadrant d'heures inégales est tellement pratique qu'on l'a vite adapté de façon à connaître l'heure classique. Mais, ce faisant, on a perdu le caractère universel de l'objet: le quadrant doit alors être construit pour une latitude donnée.
Cependant, au prix d'une certaine complication et en abandonnant le quart de disque, on a mis au point des objets universels à latitude réglable: d'abord la "navicula" qui, comme le quadrant, doit son nom à sa forme de petit navire et qui comme lui n'est pas rigoureux, puis les variantes de "capucins" (le nom reprend le dessin de l'objet) mises au point par les astronomes du 15ème siècle et qui, elles, sont rigoureuses puisqu'elles intègrent la formule exacte reliant l'heure à la hauteur du soleil et à la latitude.

La perle du quadrant d'heures inégales est réglée sur le sinus de la hauteur méridienne, c'est à dire sur le cosinus de la différence entre latitude et déclinaison. Pour le quadrant d'heures égales on trace les trois quarts de cercle correspondant, pour la latitude du lieu, aux équinoxes (déclinaison nulle) et aux solstices (déclinaison +/-23.4°) et sur ces arcs on porte les trois points horaires des heures entières classiques. En retenant comme lignes horaires les cercles circonscrits à ces trois points on obtient avec suffisamment de précision un quadrant donnant les heures égales.

quadrant d'heures égales pour la latitude 47°

cercles des lignes horaires et écart avec les véritables lignes en vert

 Les cercles des lignes horaires ne sont pas concourants, à très peu près pour les latitudes élevées, et leurs centres ne sont pas sur un même cercle.

On peut, sur un même quadrant, faire figurer les heures inégales et égales mais pour éviter un chevauchement préjudiciable au confort de lecture, on utilise l'astuce de l'inversion des solstices et de la déclinaison pour les heures égales.

heures égales et inégales 13 avril 8h15

Si on renonce aux heures inégales on peut retenir un autre principe pour le réglage de la perle et utiliser directement une graduation portée sur le bord du cadran.

quadrant d'heures égales avec graduation linéaire de la déclinaison

Avec une graduation linéaire de la déclinaison l'utilisation de cercles pour les lignes horaires reste valable et le quadrant est facile à construire.
On peut replier les deux demi-années de déclinaison positive et négative sur elles-mêmes et obtenir un quadrant donnant plus de précision en automne et hiver.

quadrant replié avec graduation linéaire de la déclinaison

On peut encore pour gagner en précision et en encombrement retenir l'inversion et ne conserver que la plaque utile.

quadrant inversé et réduit à sa partie utile

Une graduation linéaire en jours de calendrier oblige à tracer les lignes horaires par point mais leur forme est très élégante.

quadrant avec graduation linéaire en jours

Ce quadrant se prête bien au pliage,

quadrant replié avec graduation linéaire en jours

et à l'inversion.

quadrant inversé avec graduation linéaire en jours

Mais le summum est atteint avec le quadrant dit du tableau des ambassadeurs peint à Londres en 1533 par l'allemand Holbein le Jeune (1498-1543) pour le diplomate français Dinteville.

Il s'agit d'un quadrant replié pour lequel on revient au réglage de la perle sur la hauteur méridienne. Mais le réglage ne se fait pas sur un demi-cercle mais sur les deux segments de droite joignant les points correspondant aux solstices à celui de l'équinoxe. Les lignes horaires sont des segments de droite.

quadrant du tableau des ambassadeurs avec les vraies lignes horaires en vert

Ce quadrant est une véritable trouvaille car il est remarquablement juste surtout en automne et hiver.
La graduation qui résulte du choix fait par l'inventeur répond à la formule mathématique (avec des notations évidentes): sin(23.4°)/(sin(dec)+ksin(23.4°-dec)) où k est le rapport entre les rayons des quarts de cercle.
Comme pour le quadrant d'heures inégales il est impossible d'analyser par la trigonométrie classique l'écart entre heure lue et heure vraie.
Une figure en 3 dimensions met cet écart en évidence en fonction de la latitude et de la déclinaison:

écart entre heure lue et heure vraie

L'écart est quasiment nul si la déclinaison est négative, il est maximum pour les environs de 9-10h (et14-15h) et il est d'autant plus grand que la latitude est plus faible. Aux latitudes de l'Europe du nord l'écart ne dépasse pas 5m.
Là encore on peut parler de la magie du quadrant du tableau des ambassadeurs!

Musée allemand de Munich

détail du tableau des ambassadeurs, au centre, un peu caché par d'autres instruments astronomiques, le quadrant

Londres, National Gallery, la tache en bas du tableau ne prend sens que s'il est regardé de biais

 

la magie du quadrant d'heures inégales

Un quadrant est un quart de disque!
L'objet qui, de l'antiquité au moyen âge, donne l'heure à celui qui le possède, a la forme d'un quart de cercle, pèse bien moins qu'un i-phone et n'est guère plus grand. On y lit l'heure inégale, c'est-à dire la fraction du temps d'ensoleillement écoulée depuis le lever du soleil. L'objet fonctionne quels que soient le jour de l'année et le lieu où l'on se trouve, cela sans se soucier de l'orientation: c'est là son point fort: il est universel. Cependant les rendez-vous ne peuvent être garantis par temps couvert... et ce défaut entraînera sa perte: le quadrant sera remplacé par le cadran de la montre!

Les astronomes ont utilisé de tout temps un quart de cercle monté sur pivot et muni d'un fil plombé pour mesurer la hauteur d'un astre et ils ont vite caractérisé cette hauteur par une longueur au moyen d'un demi-cercle annexe tracé à l'intérieur et sur un bord du quadrant. Si le rayon du quadrant est pris pour unité, la distance entre son centre et le point d'intersection de ce demi cercle avec le fil plombé est le sinus de la hauteur.

en rouge sinus de la hauteur (arc Ap)

Le quadrant servait notamment à mesurer la hauteur du soleil à un certain moment et, entre autres, à midi au moment où il est le plus haut dans la journée.
Cette hauteur méridienne varie tous les jours: au début du printemps elle augmente journellement assez vite,  puis de moins en moins vite, et à l'approche du début de l'été, le 22 juin, elle semble se stabiliser: ce jour-là le soleil  est au "solstice" d'été (Le solstice est l'arrêt du mouvement apparent du soleil comme l'armistice est l'arrêt des armes). Ensuite on assiste à l'évolution inverse.
On "sent" bien qu'à tout instant il y a une relation entre la hauteur du soleil et le temps écoulé depuis son lever (aujourd'hui la trigonométrie sphérique donne évidemment la formulation mathématique de cette relation).
Mais quel astronome antique a eu l'idée de rapprocher le sinus de la hauteur à un instant donné du sinus de la hauteur méridienne et plus encore d'en étudier le rapport?
La figure ci-dessous montre le cheminement:

hauteur méridienne, hauteur du soleil et leurs sinus OM et OS

Soit m le point sur le bord circulaire du cadran tel que l'arc Am représente la hauteur méridienne. Si le rayon du quadrant est pris pour unité, la longueur OM est alors son sinus. De la même façon soit p le point tel que l'arc Ap représente la hauteur du soleil, alors la longueur OS est son sinus.
On appelle P le point sur la droite (verticale) Op tel que OP soit égal à OM. Pour étudier le rapport OS/OP, désigné par k dans la suite, on construit un second demi-cercle semblable au demi-cercle du quadrant et passant par P. Le diamètre de ce deuxième demi-cercle est alors égal à 1/k. On appelle H son point d'intersection avec le bord du quadrant. La longueur OH, égale à l'unité, est alors le sinus de l'arc AH dans le repère de ce deuxième demi-cercle de diamètre 1/k. La valeur du sinus de l'arc AH est donc k.  En conclusion le sinus de l'arc AH est égal au rapport du sinus de la hauteur divisé par le sinus de la hauteur méridienne.
Voilà une belle construction géométrique, mais où mène-t-elle? A quoi sert ce point H?

C'est alors qu'intervient la magie des mathématiques, particulièrement de la trigonométrie!

 

la construction des arcs des heures inégales

 A Athènes le 8 mai le soleil se lève à 5h, à midi il est à la hauteur de 69° et il se couche à 19h: l'ensoleillement dure 14h et l'heure inégale vaut 14/12 = 1heure et 10 minutes. Si l'observation a lieu à 9h40, soit 4 heures et 40 minutes après le lever du soleil on est à l'instant de la fin de la quatrième inégale et au début de la cinquième noté V.0 . Le soleil est à 53° au dessus de l'horizon. Sur le quadrant on positionne les point M puis P et H et on dessine l'arc de cercle qui passe par O, P et H.
Eh bien, cet arc de cercle, à très peu de chose près, a une position fixe sur le quadrant:  pour tous les autres jours de l'année et en tout autre lieu, le point P correspondant au début de la cinquième heure sera toujours sur ce même arc de cercle, plus près du centre du quadrant en hiver et plus près de son bord en été!
Le point H est le marqueur de la cinquième heure inégale et l'arc AH est égal à 4*90/6 = 60°. Les marqueurs des autres heures sont faciles à positionner de 15° en 15° en partant de A rebaptisé H1, début de la première heure.
C'est d'une simplicité biblique et l'outil, fabriqué à Athènes, est universel!

Voilà la justification du système des heures inégales.

Pour tenter d'expliquer ce phénomène en notation mathématique moderne, il faut intégrer dans les calculs la latitude du lieu l et la déclinaison du soleil d.
La hauteur méridienne du soleil, notée hM, est égale à 90-l+d.
La durée de l'ensoleillement du lever jusqu'à midi, notée AS, est donnée par cos(AS) = -tan(l)*tan(d).
On note AH l'angle horaire du soleil, c'est à dire l'angle, mesuré sur l'équateur céleste, qui, au moment de l'observation, le sépare de sa position à midi.
L'heure inégale HI, en radian, est donnée par HI = (pi/2)(1-AH/AS)
La hauteur du soleil notée h est donnée par sin(h) = sin(l)*sin(d)+cos(l)cos(d)*cos(AH).
Le problème est de calculer l'écart entre sin(h)/sin(hM) d'une part et sin(HI) d'autre part.
C'est évidemment impossible avec le calcul trigonométrique classique et on ne peut donc que s'incliner devant la particularité trigonométrique qui fait que ces deux quantités restent très voisines indépendamment de la latitude et de la déclinaison (c'est à dire de la date)!

Un graphique en 3 dimensions montre ces deux quantités en fonction de la latitude et de la déclinaison.

écart entre heure inégale vraie (ici III.5) et heure inégale donnée par le quadrant

On constate que le quadrant donne en hiver une valeur par excès et en été une valeur par défaut. L'écart est d'autant plus grand que la latitude est plus élevée mais il reste très faible. Aux équinoxes le quadrant est juste.

fonctionnement du quadrant en 4 étapes

Dans la pratique on équipe le quadrant d'un fil attaché à son sommet et muni d'un plomb. Sur ce fil coulisse une perle. On commence par amener le fil tendu sur la valeur de la hauteur méridienne de la veille qu'on aura repérée puis on fait coulisser la perle jusqu'à l'amener sur le demi-cercle de base. On aligne alors le bord du quadrant avec les rayons du soleil et le fil, laissé libre, place la perle entre deux arcs de cercle d'heures inégales entières. Il reste à lire l'heure par interpolation.
Sur la figure on a dessiné en pointillé l'arc de l'heure inégale lue et, en rouge, la courbe de l'heure inégale vraie.

On peut perfectionner ce quadrant en ajoutant au delà du bord circulaire un curseur permettant d'indiquer pour une latitude et une date données la valeur de la hauteur méridienne.

quadrant avec curseur mobile selon la latitude

L'ensemble du curseur portant le calendrier tourne autour du sommet du quadrant. On positionne le point correspondant à l'équinoxe sur la valeur de la latitude du lieu à partir du bord portant les pinnules puis on vient tendre le fil sur le point du calendrier qui représente la date du jour. Ensuite le processus est identique: le quadrant reste universel.

quadrant d'heures inégales du musée d'Oxford

Mais qui donc est l'auteur de la géniale invention du quadrant?

et par voie de conséquence de la nombreuse descendance de celui-ci:

-  quadrant d'heures égales et ses variations
-  navicula et cadrans de Regiomontanus et d'Appianus
-  montre solaire, bague solaire, cadran de berger, cadran de Fantoni
-  ...



 

l'énigme des heures inégales

Comment compter le temps qui passe? 
A Babylone on fait commencer le jour au lever du soleil et on le divise en 24 heures égales. A l'équinoxe le soleil se couche donc à 12h (midi!), heure babylonique. Ce jour là, la journée et la nuit durent chacune 12 heures, nombre possédant la particularité d'être divisible par 2, 3 et 4 et divisant par ailleurs l'année en mois lunaires. Cette division est encore en vigueur aujourd'hui. L'écoulement du temps est mesuré par celui de l'eau depuis un bol percé dans sa partie basse, de forme appropriée et gradué en heures à l'intérieur. Cet instrument a été appelé clepsydre, le voleur d'eau, par les grecs.
Un autre système d'heures utilisé plus tard est analogue aux heures babyloniques mais fait commencer le décompte au coucher du soleil: ce sont les heures italiques.
Plus tard, à Athènes, à Rome, apparaissent les heures inégales: Dans ce système on conserve le début du décompte des heures au lever du soleil mais on abandonne le découpage régulier. On divise la durée de l'ensoleillement en 12 parties égales et pareillement la nuit, on a donc 12 heures de jour et 12 heures de nuit mais, sauf à l'équinoxe, durée de l'heure de jour et durée de l'heure de nuit diffèrent.
La clepsydre ne donne pas ces heures-là.
Autre conséquence, la durée de l'heure de jour (et de nuit) change tous les jours.
On appelle ces heures les heures inégales ou heures temporaires.
Le langage courant a conservé de cette époque l'expression: "à la première heure" qui veut dire "au lever du soleil", sans référence à l'heure de la montre: la première heure n'est pas 1h du matin. Et l'évangile de Saint Mathieu rapporte la parabole où Jésus décrit la journée d'un maître de maison qui embauche pour travailler à sa vigne, à la première heure, puis à la troisième et ainsi de suite jusqu'à la onzième heure, tous étant payés du même salaire!
Les deux systèmes ont du cohabiter, mais pourquoi avoir inventé ces heures inégales qui paraissent diaboliques: comment savoir à l'avance la durée de la course du soleil et comment diviser cette durée en 12 parties dont la valeur change d'un jour à l'autre?

On sait faire, de façon empirique, des objets solaires, scaphés ou cadrans, donnant l'heure inégale:

SCAPHE demi-sphère concave, image de la sphère céleste, taillée dans un marbre

Le scaphé, de forme hémisphérique, porte un style dont l'extrémité est le centre de l'homothétie entre la voûte du ciel et la demi-sphère. On trace empiriquement sur la demi-sphère les arcs horaires des heures égales et inégales, limités aux tropiques du Cancer et du Capricorne. C'est le point d'impact du rayon solaire passant par l'extrémité du style qui indique l'heure par interpolation entre les lignes tracées.

cadran solaire horizontal d'heures inégales

Le cadran solaire horizontal comporte un style droit (gnomon). L'heure se lit de la même façon que pour le scaphé. Les arcs horaires sont obtenus en joignant les points calculés pour les solstices et l'équinoxe assimilant ainsi ces lignes complexes à des segments de droite (la courbe vraie pour quelques instants après le début de la 12ème heure est tracée en rouge sur la figure ci-dessus).
Ces droites ne convergent pas et leur rythme donne à l'ensemble une grande élégance.
L'empereur Auguste (-63/+14) a fait construire en l'an 10 av. J.C. un tel cadran à Rome sur le Champ de Mars. Son gnomon était l'obélisque égyptien de plus de 22 m qui, écroulé et brisé, a été reconstitué et transporté en 1792 devant le palais pontifical devenu le Palais du Parlement Italien. Les dimensions de ce cadran étaient gigantesques puisqu'à la latitude de Rome un gnomon de cette hauteur envoie, au solstice d'hiver, au début de la troisième heure, l'ombre de son sommet à 98 m de son pied. La table du cadran est maintenant occupée par des habitations!
Octave, fils adoptif par dispositions testamentaires de Jules César assassiné en 44 av. J.C., finit par lui succéder en 27 av. J.C. Le titre sacré d'"Auguste" lui est alors décerné, ce sera son nouveau nom. Il est le premier empereur romain.
En 8 av. J.C. il mène à bien l'instauration du calendrier julien en corrigeant une mauvaise interprétation de la réforme qui menait au rythme de 3 ans au lieu de 4 pour les années bissextiles. Cette même année le Sénat décide d'honorer Jules et Auguste en donnant leur noms aux septième et huitième mois de l'année: Julius est devenu juillet et Augustus, août. Depuis, personne n'a donné son nom aux mois suivants qui restent désignés par leur numéro dans l’ancienne année romaine...

Rome, le gnomon du cadran solaire d'heures inégales d'Auguste

 A Athènes, sur l'Agora au pied du Parthénon, se dresse la "Tour des Vents" monument resté pratiquement intact depuis sa construction au Ier siècle av. J.C. Il s'agit d'une tour octogonale de 12 m de haut dont chaque face a une largeur de 3.2 m. Quatre des faces regardent les points cardinaux. Chaque face comporte un haut-relief représentant la divinité attachée au vent qu'elle désigne par son orientation et présente au dessous, gravé dans le marbre, un cadran solaire d'heures inégales. Les injures du temps ont effacé la plupart des lignes horaires mais le cadran de la face orientée vers le sud-est est resté clairement lisible. Les gnomons à chaque fois perpendiculaires au mur et agrémentés à leur extrémité d'une boule, sont encore en place. L'ensemble gnomonique a été étudié par l'astronome et helléniste Joseph Delambre (1749-1822) dans son "Histoire de l'Astronomie Ancienne" parue en 1817.

Athènes, Agora, la Tour des Vents vue du sud

la face sud-est et son cadran du matin, à gauche la face sud

La latitude d'Athènes étant de 38°, le soleil, tous les jours, éclaire du lever au coucher quatre des huit cadrans et le passant peut vérifier la cohérence des trois qu'il voit.
Ci dessous les cadrans redessinés (à l'exception du cadran septentrional qui ne présente pas les heures inégales):

 

 

 Ces horloges solaires indiquent l'heure inégale à ceux qui les regardent, mais pas question d'avoir à disposition un outil léger et portatif qu'il faudrait encore, d'ailleurs, savoir orienter. Elles ne présentent donc pas de supériorité sur les autres horloges solaires qui indiquent les heures égales habituelles.

Alors pourquoi avoir inventé et utiliser cette heure inégale qui est bien moins pratique que l'heure de la clepsydre?

C'est que par suite d'une remarquable propriété trigonométrique on peut fabriquer très facilement un petit objet facilement transportable qui donne l'heure inégale du soleil sans se soucier des points cardinaux.

L'auteur de cette trouvaille quasi magique serait d'origine indienne et son invention n'a cédé la place qu'à l'horloge mécanique.

La suite au prochain numéro: la magie du quadrant.